Trojuholník 7 15 19

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 15 c = 19

Obsah trojuholníka: S = 47,78327113086
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Uhol ∠ A = α = 19,59218322609° = 19°35'31″ = 0,34219419795 rad
Uhol ∠ B = β = 45,93438251762° = 45°56'2″ = 0,80216964874 rad
Uhol ∠ C = γ = 114,47443425629° = 114°28'28″ = 1,99879541868 rad

Výška trojuholníka: v_a = 13,6522203231
Výška trojuholníka: v_b = 6,37110281745
Výška trojuholníka: v_c = 5,03297590851

Ťažnica: t_a = 16,75655960801
Ťažnica: t_b = 12,19663109177
Ťažnica: t_c = 6,83773971656

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,33108639663
Polomer opísanej kružnice: R = 10,43878756739

Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[4,86884210526; 5,03297590851]
Ťažisko: T[7,95661403509; 1,67765863617]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; -4,32442627792]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,33108639663]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,40881677391° = 160°24'29″ = 0,34219419795 rad
∠ B' = β' = 134,06661748238° = 134°3'58″ = 0,80216964874 rad
∠ C' = γ' = 65,52656574372° = 65°31'32″ = 1,99879541868 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 15 c = 19

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 15 + 19 = 41

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 1}{2} = 20, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 20, 5 (20, 5 - 7) (20, 5 - 15) (20, 5 - 19) S = 2283, 19 = 47, 78

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 7 , 7 8}{7} = 13, 65 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 7 , 7 8}{1 5} = 6, 37 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 7 , 7 8}{1 9} = 5, 03

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 9}) = 19 ° 3 5^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 9}) = 45 ° 5 6^{'} 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 3 5^{'} 31 " - 45 ° 5 6^{'} 2 " = 114 ° 2 8^{'} 28 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 7 , 7 8}{2 0 , 5} = 2, 33

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 5 \cdot 1 9}{4 \cdot 2 , 3 3 1 \cdot 2 0 , 5} = 10, 44

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 16, 756 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 12, 196 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 6, 837

Vypočítať ďaľší trojuholník