Trojuholník 7 16 22

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 16 c = 22

Obsah trojuholníka: S = 33,66765635312
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 11,02879186667° = 11°1'41″ = 0,19224734904 rad
Uhol ∠ B = β = 25,92771561696° = 25°55'38″ = 0,45325142408 rad
Uhol ∠ C = γ = 143,04549251637° = 143°2'42″ = 2,49766049224 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,61990181518
Výška trojuholníka: v_b = 4,20883204414
Výška trojuholníka: v_c = 3,06105966847

Ťažnica: t_a = 18,91442803194
Ťažnica: t_b = 14,23302494708
Ťažnica: t_c = 5,61224860802

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,49662917125
Polomer opísanej kružnice: R = 18,29770857548

Súradnice vrcholov: A[22; 0] B[0; 0] C[6,29554545455; 3,06105966847]
Ťažisko: T[9,43218181818; 1,02201988949]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11; -14,62113319201]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,49662917125]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 168,97220813333° = 168°58'19″ = 0,19224734904 rad
∠ B' = β' = 154,07328438304° = 154°4'22″ = 0,45325142408 rad
∠ C' = γ' = 36,95550748363° = 36°57'18″ = 2,49766049224 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 16 c = 22

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 16 + 22 = 45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 7) (22, 5 - 16) (22, 5 - 22) S = 1133, 44 = 33, 67

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 , 6 7}{7} = 9, 62 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 , 6 7}{1 6} = 4, 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 , 6 7}{2 2} = 3, 06

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 ^{2} + 2 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 6 \cdot 2 2}) = 11 ° 1^{'} 41 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 2 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 2}) = 25 ° 5 5^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 11 ° 1^{'} 41 " - 25 ° 5 5^{'} 38 " = 143 ° 2^{'} 42 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 , 6 7}{2 2 , 5} = 1, 5

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 6 \cdot 2 2}{4 \cdot 1 , 4 9 6 \cdot 2 2 , 5} = 18, 3

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 18, 914 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 14, 23 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 5, 612

Vypočítať ďaľší trojuholník