Trojuholník 7 18 23
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 18 c = 23Obsah trojuholníka: S = 49,47772675074
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24
Uhol ∠ A = α = 13,82987435443° = 13°49'43″ = 0,24113571063 rad
Uhol ∠ B = β = 37,92546365774° = 37°55'29″ = 0,66219097759 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,24766198784° = 128°14'48″ = 2,23883257714 rad
Výška trojuholníka: va = 14,1366362145
Výška trojuholníka: vb = 5,49774741675
Výška trojuholníka: vc = 4,30223710876
Ťažnica: ta = 20,3533132437
Ťažnica: tb = 14,42222051019
Ťažnica: tc = 7,36554599313
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,06215528128
Polomer opísanej kružnice: R = 14,64330883616
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[5,52217391304; 4,30223710876]
Ťažisko: T[9,50772463768; 1,43441236959]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -9,06547689857]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,06215528128]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,17112564557° = 166°10'17″ = 0,24113571063 rad
∠ B' = β' = 142,07553634227° = 142°4'31″ = 0,66219097759 rad
∠ C' = γ' = 51,75333801217° = 51°45'12″ = 2,23883257714 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=18 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+18+23=48
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=248=24
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24(24−7)(24−18)(24−23) S=2448=49,48
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 49,48=14,14 vb=b2 S=182⋅ 49,48=5,5 vc=c2 S=232⋅ 49,48=4,3
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 23182+232−72)=13°49′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2372+232−182)=37°55′29" γ=180°−α−β=180°−13°49′43"−37°55′29"=128°14′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2449,48=2,06
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,062⋅ 247⋅ 18⋅ 23=14,64
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 232−72=20,353 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 72−182=14,422 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 182−232=7,365
Vypočítať ďaľší trojuholník