Trojuholník 7 18 23




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7   b = 18   c = 23

Obsah trojuholníka: S = 49,47772675074
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Uhol ∠ A = α = 13,82987435443° = 13°49'43″ = 0,24113571063 rad
Uhol ∠ B = β = 37,92546365774° = 37°55'29″ = 0,66219097759 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,24766198784° = 128°14'48″ = 2,23883257714 rad

Výška trojuholníka: va = 14,1366362145
Výška trojuholníka: vb = 5,49774741675
Výška trojuholníka: vc = 4,30223710876

Ťažnica: ta = 20,3533132437
Ťažnica: tb = 14,42222051019
Ťažnica: tc = 7,36554599313

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,06215528128
Polomer opísanej kružnice: R = 14,64330883616

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[5,52217391304; 4,30223710876]
Ťažisko: T[9,50772463768; 1,43441236959]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -9,06547689857]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,06215528128]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,17112564557° = 166°10'17″ = 0,24113571063 rad
∠ B' = β' = 142,07553634227° = 142°4'31″ = 0,66219097759 rad
∠ C' = γ' = 51,75333801217° = 51°45'12″ = 2,23883257714 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=18 c=23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=7+18+23=48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=248=24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=24(247)(2418)(2423) S=2448=49,48

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=72 49,48=14,14 vb=b2 S=182 49,48=5,5 vc=c2 S=232 49,48=4,3

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 18 23182+23272)=13°4943"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 7 2372+232182)=37°5529" γ=180°αβ=180°13°4943"37°5529"=128°1448"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2449,48=2,06

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,062 247 18 23=14,64

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 182+2 23272=20,353 tb=22c2+2a2b2=22 232+2 72182=14,422 tc=22a2+2b2c2=22 72+2 182232=7,365

Vypočítať ďaľší trojuholník