Trojuholník 7 19 23
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 19 c = 23Obsah trojuholníka: S = 59,47442591379
Obvod trojuholníka: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Uhol ∠ A = α = 15,79548290504° = 15°47'41″ = 0,27656717717 rad
Uhol ∠ B = β = 47,63302014306° = 47°37'49″ = 0,83113038384 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,5754969519° = 116°34'30″ = 2,03546170435 rad
Výška trojuholníka: va = 16,9932645468
Výška trojuholníka: vb = 6,26604483303
Výška trojuholníka: vc = 5,17216747076
Ťažnica: ta = 20,80326440627
Ťažnica: tb = 14,09878721799
Ťažnica: tc = 8,52993610546
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,42875207811
Polomer opísanej kružnice: R = 12,85985040165
Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[4,71773913043; 5,17216747076]
Ťažisko: T[9,23991304348; 1,72438915692]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -5,75224886389]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,42875207811]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,20551709496° = 164°12'19″ = 0,27656717717 rad
∠ B' = β' = 132,37697985694° = 132°22'11″ = 0,83113038384 rad
∠ C' = γ' = 63,4255030481° = 63°25'30″ = 2,03546170435 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=19 c=23
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+19+23=49
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−7)(24,5−19)(24,5−23) S=3537,19=59,47
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 59,47=16,99 vb=b2 S=192⋅ 59,47=6,26 vc=c2 S=232⋅ 59,47=5,17
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 23192+232−72)=15°47′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2372+232−192)=47°37′49" γ=180°−α−β=180°−15°47′41"−47°37′49"=116°34′30"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=24,559,47=2,43
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,428⋅ 24,57⋅ 19⋅ 23=12,86
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 232−72=20,803 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 232+2⋅ 72−192=14,098 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 192−232=8,529
Vypočítať ďaľší trojuholník