Trojuholník 7 20 23

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 20 c = 23

Obsah trojuholníka: S = 67,0822039325
Obvod trojuholníka: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25

Uhol ∠ A = α = 16,95774262942° = 16°57'27″ = 0,29659629215 rad
Uhol ∠ B = β = 56,44110241068° = 56°26'28″ = 0,98550817039 rad
Uhol ∠ C = γ = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,86105480282 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,166629695
Výška trojuholníka: v_b = 6,70882039325
Výška trojuholníka: v_c = 5,83332208109

Ťažnica: t_a = 21,26661703181
Ťažnica: t_b = 13,74877270849
Ťažnica: t_c = 9,60546863561

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,6833281573
Polomer opísanej kružnice: R = 122,0002314792

Súradnice vrcholov: A[23; 0] B[0; 0] C[3,87695652174; 5,83332208109]
Ťažisko: T[8,95765217391; 1,9444406937]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,5; -3,42986375655]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,6833281573]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,04325737058° = 163°2'33″ = 0,29659629215 rad
∠ B' = β' = 123,55989758932° = 123°33'32″ = 0,98550817039 rad
∠ C' = γ' = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,86105480282 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 20 c = 23

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 20 + 23 = 50

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 0}{2} = 25

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 25 (25 - 7) (25 - 20) (25 - 23) S = 4500 = 67, 08

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 , 0 8}{7} = 19, 17 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 , 0 8}{2 0} = 6, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 , 0 8}{2 3} = 5, 83

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 0 ^{2} + 2 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 0 \cdot 2 3}) = 16 ° 5 7^{'} 27 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 3 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 3}) = 56 ° 2 6^{'} 28 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 5 7^{'} 27 " - 56 ° 2 6^{'} 28 " = 106 ° 3 6^{'} 6 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 , 0 8}{2 5} = 2, 68

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 0 \cdot 2 3}{4 \cdot 2 , 6 8 3 \cdot 2 5} = 12

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 21, 266 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 13, 748 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 9, 605

Vypočítať ďaľší trojuholník