Trojuholník 7 20 25




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7   b = 20   c = 25

Obsah trojuholníka: S = 54,44326303553
Obvod trojuholníka: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26

Uhol ∠ A = α = 12,57881186558° = 12°34'41″ = 0,22195295842 rad
Uhol ∠ B = β = 38,47770777501° = 38°28'37″ = 0,67215516933 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,94548035941° = 128°56'41″ = 2,25105113761 rad

Výška trojuholníka: va = 15,55550372444
Výška trojuholníka: vb = 5,44442630355
Výška trojuholníka: vc = 4,35554104284

Ťažnica: ta = 22,36662692463
Ťažnica: tb = 15,39548043183
Ťažnica: tc = 8,26113558209

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,09439473214
Polomer opísanej kružnice: R = 16,07219640894

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[5,48; 4,35554104284]
Ťažisko: T[10,16; 1,45218034761]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -10,10223774276]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,09439473214]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,42218813442° = 167°25'19″ = 0,22195295842 rad
∠ B' = β' = 141,52329222499° = 141°31'23″ = 0,67215516933 rad
∠ C' = γ' = 51,05551964059° = 51°3'19″ = 2,25105113761 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=20 c=25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=7+20+25=52

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=252=26

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=26(267)(2620)(2625) S=2964=54,44

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=72 54,44=15,56 vb=b2 S=202 54,44=5,44 vc=c2 S=252 54,44=4,36

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 20 25202+25272)=12°3441"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 7 2572+252202)=38°2837" γ=180°αβ=180°12°3441"38°2837"=128°5641"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=2654,44=2,09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,094 267 20 25=16,07

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 202+2 25272=22,366 tb=22c2+2a2b2=22 252+2 72202=15,395 tc=22a2+2b2c2=22 72+2 202252=8,261

Vypočítať ďaľší trojuholník