Trojuholník 7 20 25
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 20 c = 25Obsah trojuholníka: S = 54,44326303553
Obvod trojuholníka: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26
Uhol ∠ A = α = 12,57881186558° = 12°34'41″ = 0,22195295842 rad
Uhol ∠ B = β = 38,47770777501° = 38°28'37″ = 0,67215516933 rad
Uhol ∠ C = γ = 128,94548035941° = 128°56'41″ = 2,25105113761 rad
Výška trojuholníka: va = 15,55550372444
Výška trojuholníka: vb = 5,44442630355
Výška trojuholníka: vc = 4,35554104284
Ťažnica: ta = 22,36662692463
Ťažnica: tb = 15,39548043183
Ťažnica: tc = 8,26113558209
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,09439473214
Polomer opísanej kružnice: R = 16,07219640894
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[5,48; 4,35554104284]
Ťažisko: T[10,16; 1,45218034761]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -10,10223774276]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,09439473214]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,42218813442° = 167°25'19″ = 0,22195295842 rad
∠ B' = β' = 141,52329222499° = 141°31'23″ = 0,67215516933 rad
∠ C' = γ' = 51,05551964059° = 51°3'19″ = 2,25105113761 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=20 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+20+25=52
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=252=26
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26(26−7)(26−20)(26−25) S=2964=54,44
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 54,44=15,56 vb=b2 S=202⋅ 54,44=5,44 vc=c2 S=252⋅ 54,44=4,36
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 25202+252−72)=12°34′41" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2572+252−202)=38°28′37" γ=180°−α−β=180°−12°34′41"−38°28′37"=128°56′41"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2654,44=2,09
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,094⋅ 267⋅ 20⋅ 25=16,07
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 252−72=22,366 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 72−202=15,395 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 202−252=8,261
Vypočítať ďaľší trojuholník