Trojuholník 7 21 25

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 21 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 65,29330892208
Obvod trojuholníka: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5

Uhol ∠ A = α = 14,40327028211° = 14°24'10″ = 0,25113745854 rad
Uhol ∠ B = β = 48,26328531992° = 48°15'46″ = 0,84223456947 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,33444439797° = 117°20'4″ = 2,04878723734 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,65551683488
Výška trojuholníka: v_b = 6,21883894496
Výška trojuholníka: v_c = 5,22334471377

Ťažnica: t_a = 22,82199474145
Ťažnica: t_b = 15,05882203464
Ťažnica: t_c = 9,42107218407

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,46438901593
Polomer opísanej kružnice: R = 14,07111675763

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[4,66; 5,22334471377]
Ťažisko: T[9,88766666667; 1,74111490459]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -6,46112504177]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,46438901593]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,59772971789° = 165°35'50″ = 0,25113745854 rad
∠ B' = β' = 131,73771468008° = 131°44'14″ = 0,84223456947 rad
∠ C' = γ' = 62,66655560203° = 62°39'56″ = 2,04878723734 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 21 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 21 + 25 = 53

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 3}{2} = 26, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 26, 5 (26, 5 - 7) (26, 5 - 21) (26, 5 - 25) S = 4263, 19 = 65, 29

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{7} = 18, 66 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{2 1} = 6, 22 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{2 5} = 5, 22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 1 ^{2} + 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 1 \cdot 2 5}) = 14 ° 2 4^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 5}) = 48 ° 1 5^{'} 46 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 2 4^{'} 10 " - 48 ° 1 5^{'} 46 " = 117 ° 2 0^{'} 4 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 5 , 2 9}{2 6 , 5} = 2, 46

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 1 \cdot 2 5}{4 \cdot 2 , 4 6 4 \cdot 2 6 , 5} = 14, 07

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 22, 82 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 15, 058 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 9, 421

Vypočítať ďaľší trojuholník