Trojuholník 7 24 25

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 24 c = 25

Obsah trojuholníka: S = 84
Obvod trojuholníka: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28

Uhol ∠ A = α = 16,26602047083° = 16°15'37″ = 0,28437941092 rad
Uhol ∠ B = β = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka: v_a = 24
Výška trojuholníka: v_b = 7
Výška trojuholníka: v_c = 6,72

Ťažnica: t_a = 24,25438656713
Ťažnica: t_b = 13,89224439894
Ťažnica: t_c = 12,5

Polomer vpísanej kružnice: r = 3
Polomer opísanej kružnice: R = 12,5

Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[1,96; 6,72]
Ťažisko: T[8,98766666667; 2,24]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 3]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,74397952917° = 163°44'23″ = 0,28437941092 rad
∠ B' = β' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 24 c = 25

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 24 + 25 = 56

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 6}{2} = 28

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28 (28 - 7) (28 - 24) (28 - 25) S = 7056 = 84

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 4}{7} = 24 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 4}{2 4} = 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 4}{2 5} = 6, 72

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 5}) = 16 ° 1 5^{'} 37 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 2 5 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 2 5}) = 73 ° 4 4^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 1 5^{'} 37 " - 73 ° 4 4^{'} 23 " = 90 °

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 4}{2 8} = 3

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 2 4 \cdot 2 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 8} = 12, 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 24, 254 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 13, 892 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 12, 5

Vypočítať ďaľší trojuholník