Trojuholník 7 24 25
Pravouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 24 c = 25Obsah trojuholníka: S = 84
Obvod trojuholníka: o = 56
Semiperimeter (poloobvod): s = 28
Uhol ∠ A = α = 16,26602047083° = 16°15'37″ = 0,28437941092 rad
Uhol ∠ B = β = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,28770022176 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka: va = 24
Výška trojuholníka: vb = 7
Výška trojuholníka: vc = 6,72
Ťažnica: ta = 24,25438656713
Ťažnica: tb = 13,89224439894
Ťažnica: tc = 12,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 3
Polomer opísanej kružnice: R = 12,5
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[1,96; 6,72]
Ťažisko: T[8,98766666667; 2,24]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 3]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,74397952917° = 163°44'23″ = 0,28437941092 rad
∠ B' = β' = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,28770022176 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=24 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+24+25=56
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=256=28
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=28(28−7)(28−24)(28−25) S=7056=84
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 84=24 vb=b2 S=242⋅ 84=7 vc=c2 S=252⋅ 84=6,72
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 25242+252−72)=16°15′37" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 2572+252−242)=73°44′23" γ=180°−α−β=180°−16°15′37"−73°44′23"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2884=3
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3⋅ 287⋅ 24⋅ 25=12,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 252−72=24,254 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 72−242=13,892 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 242−252=12,5
Vypočítať ďaľší trojuholník