Trojuholník 8 10 12




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 10   c = 12

Obsah trojuholníka: S = 39,6866269666
Obvod trojuholníka: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Uhol ∠ A = α = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ B = β = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,81992442185° = 82°49'9″ = 1,44554684956 rad

Výška trojuholníka: va = 9,92215674165
Výška trojuholníka: vb = 7,93772539332
Výška trojuholníka: vc = 6,61443782777

Ťažnica: ta = 10,2965630141
Ťažnica: tb = 8,88881944173
Ťažnica: tc = 6,78223299831

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,64657513111
Polomer opísanej kružnice: R = 6,04774315681

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[4,5; 6,61443782777]
Ťažisko: T[5,5; 2,20547927592]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 0,7565928946]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,64657513111]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ B' = β' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ C' = γ' = 97,18107557815° = 97°10'51″ = 1,44554684956 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=10 c=12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+10+12=30

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=230=15

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=15(158)(1510)(1512) S=1575=39,69

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 39,69=9,92 vb=b2 S=102 39,69=7,94 vc=c2 S=122 39,69=6,61

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 12102+12282)=41°2435"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 1282+122102)=55°4616" γ=180°αβ=180°41°2435"55°4616"=82°499"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1539,69=2,65

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,646 158 10 12=6,05

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 12282=10,296 tb=22c2+2a2b2=22 122+2 82102=8,888 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 102122=6,782

Vypočítať ďaľší trojuholník