Trojuholník 8 10 13
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 10 c = 13Obsah trojuholníka: S = 39,98804639793
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Uhol ∠ A = α = 37,95880285807° = 37°57'29″ = 0,66224925763 rad
Uhol ∠ B = β = 50,251118676° = 50°15'4″ = 0,8777048662 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,79107846593° = 91°47'27″ = 1,60220514153 rad
Výška trojuholníka: va = 9,99551159948
Výška trojuholníka: vb = 7,99660927959
Výška trojuholníka: vc = 6,15108406122
Ťažnica: ta = 10,88657705285
Ťažnica: tb = 9,56655632349
Ťažnica: tc = 6,30547601065
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,57993847729
Polomer opísanej kružnice: R = 6,50331761546
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[5,11553846154; 6,15108406122]
Ťažisko: T[6,03884615385; 2,05502802041]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -0,20332242548]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,57993847729]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,04219714193° = 142°2'31″ = 0,66224925763 rad
∠ B' = β' = 129,749881324° = 129°44'56″ = 0,8777048662 rad
∠ C' = γ' = 88,20992153407° = 88°12'33″ = 1,60220514153 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=10 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+10+13=31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−8)(15,5−10)(15,5−13) S=1598,44=39,98
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 39,98=10 vb=b2 S=102⋅ 39,98=8 vc=c2 S=132⋅ 39,98=6,15
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 13102+132−82)=37°57′29" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1382+132−102)=50°15′4" γ=180°−α−β=180°−37°57′29"−50°15′4"=91°47′27"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=15,539,98=2,58
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,579⋅ 15,58⋅ 10⋅ 13=6,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 132−82=10,886 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 82−102=9,566 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 102−132=6,305
Vypočítať ďaľší trojuholník