Trojuholník 8 10 13




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 10   c = 13

Obsah trojuholníka: S = 39,98804639793
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Uhol ∠ A = α = 37,95880285807° = 37°57'29″ = 0,66224925763 rad
Uhol ∠ B = β = 50,251118676° = 50°15'4″ = 0,8777048662 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,79107846593° = 91°47'27″ = 1,60220514153 rad

Výška trojuholníka: va = 9,99551159948
Výška trojuholníka: vb = 7,99660927959
Výška trojuholníka: vc = 6,15108406122

Ťažnica: ta = 10,88657705285
Ťažnica: tb = 9,56655632349
Ťažnica: tc = 6,30547601065

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,57993847729
Polomer opísanej kružnice: R = 6,50331761546

Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[5,11553846154; 6,15108406122]
Ťažisko: T[6,03884615385; 2,05502802041]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -0,20332242548]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,57993847729]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,04219714193° = 142°2'31″ = 0,66224925763 rad
∠ B' = β' = 129,749881324° = 129°44'56″ = 0,8777048662 rad
∠ C' = γ' = 88,20992153407° = 88°12'33″ = 1,60220514153 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=10 c=13

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+10+13=31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=231=15,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=15,5(15,58)(15,510)(15,513) S=1598,44=39,98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 39,98=10 vb=b2 S=102 39,98=8 vc=c2 S=132 39,98=6,15

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 13102+13282)=37°5729"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 1382+132102)=50°154" γ=180°αβ=180°37°5729"50°154"=91°4727"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=15,539,98=2,58

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,579 15,58 10 13=6,5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 13282=10,886 tb=22c2+2a2b2=22 132+2 82102=9,566 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 102132=6,305

Vypočítať ďaľší trojuholník