Trojuholník 8 11 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 11 c = 11Obsah trojuholníka: S = 40,98878030638
Obvod trojuholníka: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15
Uhol ∠ A = α = 42,6477372527° = 42°38'51″ = 0,74443370679 rad
Uhol ∠ B = β = 68,67663137365° = 68°40'35″ = 1,19986277928 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,67663137365° = 68°40'35″ = 1,19986277928 rad
Výška trojuholníka: va = 10,2476950766
Výška trojuholníka: vb = 7,45223278298
Výška trojuholníka: vc = 7,45223278298
Ťažnica: ta = 10,2476950766
Ťažnica: tb = 7,8989866919
Ťažnica: tc = 7,8989866919
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,73325202043
Polomer opísanej kružnice: R = 5,90441954413
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[2,90990909091; 7,45223278298]
Ťažisko: T[4,63663636364; 2,48441092766]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 2,14769801605]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,73325202043]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 137,3532627473° = 137°21'9″ = 0,74443370679 rad
∠ B' = β' = 111,32436862635° = 111°19'25″ = 1,19986277928 rad
∠ C' = γ' = 111,32436862635° = 111°19'25″ = 1,19986277928 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=11 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+11+11=30
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=230=15
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15(15−8)(15−11)(15−11) S=1680=40,99
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 40,99=10,25 vb=b2 S=112⋅ 40,99=7,45 vc=c2 S=112⋅ 40,99=7,45
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−82)=42°38′51" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−112)=68°40′35" γ=180°−α−β=180°−42°38′51"−68°40′35"=68°40′35"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1540,99=2,73
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,733⋅ 158⋅ 11⋅ 11=5,9
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−82=10,247 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 82−112=7,89 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 112−112=7,89
Vypočítať ďaľší trojuholník