Trojuholník 8 11 12

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 11 c = 12

Obsah trojuholníka: S = 42,78994554768
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Uhol ∠ A = α = 40,41554390215° = 40°24'56″ = 0,70553824796 rad
Uhol ∠ B = β = 63,05656418195° = 63°3'20″ = 1,10105285617 rad
Uhol ∠ C = γ = 76,5298919159° = 76°31'44″ = 1,33656816123 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,69773638692
Výška trojuholníka: v_b = 7,78799009958
Výška trojuholníka: v_c = 7,13215759128

Ťažnica: t_a = 10,79435165725
Ťažnica: t_b = 8,58877820187
Ťažnica: t_c = 7,51766481892

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,76106100308
Polomer opísanej kružnice: R = 6,17697443227

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[3,625; 7,13215759128]
Ťažisko: T[5,20883333333; 2,37771919709]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 1,43772699843]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,76106100308]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,58545609786° = 139°35'4″ = 0,70553824796 rad
∠ B' = β' = 116,94443581805° = 116°56'40″ = 1,10105285617 rad
∠ C' = γ' = 103,4711080841° = 103°28'16″ = 1,33656816123 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 11 c = 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 11 + 12 = 31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1}{2} = 15, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15, 5 (15, 5 - 8) (15, 5 - 11) (15, 5 - 12) S = 1830, 94 = 42, 79

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 2 , 7 9}{8} = 10, 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 2 , 7 9}{1 1} = 7, 78 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 2 , 7 9}{1 2} = 7, 13

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 2}) = 40 ° 2 4^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 2}) = 63 ° 3^{'} 20 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 2 4^{'} 56 " - 63 ° 3^{'} 20 " = 76 ° 3 1^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 2 , 7 9}{1 5 , 5} = 2, 76

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 1 \cdot 1 2}{4 \cdot 2 , 7 6 1 \cdot 1 5 , 5} = 6, 17

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 10, 794 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 8, 588 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 7, 517

Vypočítať ďaľší trojuholník