Trojuholník 8 11 15




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 11   c = 15

Obsah trojuholníka: S = 42,84985705713
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Uhol ∠ A = α = 31,29904452139° = 31°17'26″ = 0,54661212934 rad
Uhol ∠ B = β = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Uhol ∠ C = γ = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1.880007253 rad

Výška trojuholníka: va = 10,71221426428
Výška trojuholníka: vb = 7,79106491948
Výška trojuholníka: vc = 5,71331427428

Ťažnica: ta = 12,53299640861
Ťažnica: tb = 10,68987791632
Ťažnica: tc = 6,02107972894

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,52105041513
Polomer opísanej kružnice: R = 7,70215404622

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5,6; 5,71331427428]
Ťažisko: T[6,86766666667; 1,90443809143]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -1,7550350105]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,52105041513]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,71095547861° = 148°42'34″ = 0,54661212934 rad
∠ B' = β' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ C' = γ' = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1.880007253 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=11 c=15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+11+15=34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=234=17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=17(178)(1711)(1715) S=1836=42,85

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 42,85=10,71 vb=b2 S=112 42,85=7,79 vc=c2 S=152 42,85=5,71

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 11 15112+15282)=31°1726"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 1582+152112)=45°3423" γ=180°αβ=180°31°1726"45°3423"=103°812"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1742,85=2,52

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,521 178 11 15=7,7

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 112+2 15282=12,53 tb=22c2+2a2b2=22 152+2 82112=10,689 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 112152=6,021

Vypočítať ďaľší trojuholník