Trojuholník 8 11 15
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 11 c = 15Obsah trojuholníka: S = 42,84985705713
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17
Uhol ∠ A = α = 31,29904452139° = 31°17'26″ = 0,54661212934 rad
Uhol ∠ B = β = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Uhol ∠ C = γ = 103,13765587869° = 103°8'12″ = 1.880007253 rad
Výška trojuholníka: va = 10,71221426428
Výška trojuholníka: vb = 7,79106491948
Výška trojuholníka: vc = 5,71331427428
Ťažnica: ta = 12,53299640861
Ťažnica: tb = 10,68987791632
Ťažnica: tc = 6,02107972894
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,52105041513
Polomer opísanej kružnice: R = 7,70215404622
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5,6; 5,71331427428]
Ťažisko: T[6,86766666667; 1,90443809143]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -1,7550350105]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,52105041513]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,71095547861° = 148°42'34″ = 0,54661212934 rad
∠ B' = β' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ C' = γ' = 76,86334412131° = 76°51'48″ = 1.880007253 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=11 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+11+15=34
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=234=17
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17(17−8)(17−11)(17−15) S=1836=42,85
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 42,85=10,71 vb=b2 S=112⋅ 42,85=7,79 vc=c2 S=152⋅ 42,85=5,71
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−82)=31°17′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−112)=45°34′23" γ=180°−α−β=180°−31°17′26"−45°34′23"=103°8′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1742,85=2,52
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,521⋅ 178⋅ 11⋅ 15=7,7
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 152−82=12,53 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−112=10,689 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 112−152=6,021
Vypočítať ďaľší trojuholník