Trojuholník 8 12 14

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 12 c = 14

Obsah trojuholníka: S = 47,9066158268
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Uhol ∠ A = α = 34,77219440319° = 34°46'19″ = 0,60768849107 rad
Uhol ∠ B = β = 58,81113776665° = 58°48'41″ = 1,02664521779 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,9776539567
Výška trojuholníka: v_b = 7,98443597113
Výška trojuholníka: v_c = 6,84437368954

Ťažnica: t_a = 12,4109673646
Ťažnica: t_b = 9,69553597148
Ťažnica: t_c = 7,41661984871

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,81880093099
Polomer opísanej kružnice: R = 7,01437120602

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[4,14328571429; 6,84437368954]
Ťažisko: T[6,04876190476; 2,28112456318]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; 0,43883570038]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,81880093099]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,22880559681° = 145°13'41″ = 0,60768849107 rad
∠ B' = β' = 121,18986223335° = 121°11'19″ = 1,02664521779 rad
∠ C' = γ' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 12 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 12 + 14 = 34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 8) (17 - 12) (17 - 14) S = 2295 = 47, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 7 , 9 1}{8} = 11, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 7 , 9 1}{1 2} = 7, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 7 , 9 1}{1 4} = 6, 84

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 2 ^{2} + 1 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 2 \cdot 1 4}) = 34 ° 4 6^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 4}) = 58 ° 4 8^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 4 6^{'} 19 " - 58 ° 4 8^{'} 41 " = 86 ° 2 5^{'}

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 7 , 9 1}{1 7} = 2, 82

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 2 \cdot 1 4}{4 \cdot 2 , 8 1 8 \cdot 1 7} = 7, 01

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 12, 41 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 9, 695 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 7, 416

Vypočítať ďaľší trojuholník