Trojuholník 8 12 15
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 12 c = 15Obsah trojuholníka: S = 47,81114787473
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Uhol ∠ A = α = 32,08991838633° = 32°5'21″ = 0,56600619127 rad
Uhol ∠ B = β = 52,8311100344° = 52°49'52″ = 0,92220766485 rad
Uhol ∠ C = γ = 95,08797157927° = 95°4'47″ = 1,65994540924 rad
Výška trojuholníka: va = 11,95328696868
Výška trojuholníka: vb = 7,96985797912
Výška trojuholníka: vc = 6,3754863833
Ťažnica: ta = 12,98107549857
Ťažnica: tb = 10,4166333328
Ťažnica: tc = 6,91101374805
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,73220844998
Polomer opísanej kružnice: R = 7,53295725929
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4,83333333333; 6,3754863833]
Ťažisko: T[6,61111111111; 2,1254954611]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -0,66766809067]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,73220844998]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,91108161367° = 147°54'39″ = 0,56600619127 rad
∠ B' = β' = 127,1698899656° = 127°10'8″ = 0,92220766485 rad
∠ C' = γ' = 84,92202842073° = 84°55'13″ = 1,65994540924 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=12 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+12+15=35
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−8)(17,5−12)(17,5−15) S=2285,94=47,81
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 47,81=11,95 vb=b2 S=122⋅ 47,81=7,97 vc=c2 S=152⋅ 47,81=6,37
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−82)=32°5′21" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−122)=52°49′52" γ=180°−α−β=180°−32°5′21"−52°49′52"=95°4′47"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=17,547,81=2,73
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,732⋅ 17,58⋅ 12⋅ 15=7,53
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 152−82=12,981 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−122=10,416 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 122−152=6,91
Vypočítať ďaľší trojuholník