Trojuholník 8 12 15




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 12   c = 15

Obsah trojuholníka: S = 47,81114787473
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5

Uhol ∠ A = α = 32,08991838633° = 32°5'21″ = 0,56600619127 rad
Uhol ∠ B = β = 52,8311100344° = 52°49'52″ = 0,92220766485 rad
Uhol ∠ C = γ = 95,08797157927° = 95°4'47″ = 1,65994540924 rad

Výška trojuholníka: va = 11,95328696868
Výška trojuholníka: vb = 7,96985797912
Výška trojuholníka: vc = 6,3754863833

Ťažnica: ta = 12,98107549857
Ťažnica: tb = 10,4166333328
Ťažnica: tc = 6,91101374805

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,73220844998
Polomer opísanej kružnice: R = 7,53295725929

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4,83333333333; 6,3754863833]
Ťažisko: T[6,61111111111; 2,1254954611]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -0,66766809067]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,73220844998]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,91108161367° = 147°54'39″ = 0,56600619127 rad
∠ B' = β' = 127,1698899656° = 127°10'8″ = 0,92220766485 rad
∠ C' = γ' = 84,92202842073° = 84°55'13″ = 1,65994540924 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=12 c=15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+12+15=35

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=235=17,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=17,5(17,58)(17,512)(17,515) S=2285,94=47,81

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 47,81=11,95 vb=b2 S=122 47,81=7,97 vc=c2 S=152 47,81=6,37

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 12 15122+15282)=32°521"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 1582+152122)=52°4952" γ=180°αβ=180°32°521"52°4952"=95°447"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=17,547,81=2,73

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,732 17,58 12 15=7,53

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 122+2 15282=12,981 tb=22c2+2a2b2=22 152+2 82122=10,416 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 122152=6,91

Vypočítať ďaľší trojuholník