Trojuholník 8 12 16




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 12   c = 16

Obsah trojuholníka: S = 46,47658001545
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Uhol ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Uhol ∠ B = β = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Uhol ∠ C = γ = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,82334765819 rad

Výška trojuholníka: va = 11,61989500386
Výška trojuholníka: vb = 7,74659666924
Výška trojuholníka: vc = 5,80994750193

Ťažnica: ta = 13,56546599663
Ťažnica: tb = 11,13655287257
Ťažnica: tc = 6,32545553203

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,58219888975
Polomer opísanej kružnice: R = 8,26223644719

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[5,5; 5,80994750193]
Ťažisko: T[7,16766666667; 1,93664916731]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -2,0665591118]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,58219888975]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ C' = γ' = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,82334765819 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=12 c=16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+12+16=36

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=236=18

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=18(188)(1812)(1816) S=2160=46,48

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 46,48=11,62 vb=b2 S=122 46,48=7,75 vc=c2 S=162 46,48=5,81

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 12 16122+16282)=28°5718"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 1682+162122)=46°343" γ=180°αβ=180°28°5718"46°343"=104°2839"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1846,48=2,58

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,582 188 12 16=8,26

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 122+2 16282=13,565 tb=22c2+2a2b2=22 162+2 82122=11,136 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 122162=6,325

Vypočítať ďaľší trojuholník