Trojuholník 8 12 18
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 12 c = 18Obsah trojuholníka: S = 38,24991829978
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Uhol ∠ A = α = 20,74219164807° = 20°44'31″ = 0,36220147358 rad
Uhol ∠ B = β = 32,08991838633° = 32°5'21″ = 0,56600619127 rad
Uhol ∠ C = γ = 127,1698899656° = 127°10'8″ = 2,22195160051 rad
Výška trojuholníka: va = 9,56222957495
Výška trojuholníka: vb = 6,3754863833
Výška trojuholníka: vc = 4,2549909222
Ťažnica: ta = 14,76548230602
Ťažnica: tb = 12,576980509
Ťažnica: tc = 4,79658315233
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,01331148946
Polomer opísanej kružnice: R = 11,29443588893
Súradnice vrcholov: A[18; 0] B[0; 0] C[6,77877777778; 4,2549909222]
Ťažisko: T[8,25992592593; 1,41766364073]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9; -6,82436751623]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,01331148946]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,25880835193° = 159°15'29″ = 0,36220147358 rad
∠ B' = β' = 147,91108161367° = 147°54'39″ = 0,56600619127 rad
∠ C' = γ' = 52,8311100344° = 52°49'52″ = 2,22195160051 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=12 c=18
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+12+18=38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−8)(19−12)(19−18) S=1463=38,25
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 38,25=9,56 vb=b2 S=122⋅ 38,25=6,37 vc=c2 S=182⋅ 38,25=4,25
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 18122+182−82)=20°44′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1882+182−122)=32°5′21" γ=180°−α−β=180°−20°44′31"−32°5′21"=127°10′8"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1938,25=2,01
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,013⋅ 198⋅ 12⋅ 18=11,29
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 182−82=14,765 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 82−122=12,57 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 122−182=4,796
Vypočítať ďaľší trojuholník