Trojuholník 8 12 19
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 12 c = 19Obsah trojuholníka: S = 28,99989223938
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Uhol ∠ A = α = 14,73766437225° = 14°44'12″ = 0,25772029537 rad
Uhol ∠ B = β = 22,43106417388° = 22°25'50″ = 0,39114885517 rad
Uhol ∠ C = γ = 142,83327145387° = 142°49'58″ = 2,49329011483 rad
Výška trojuholníka: va = 7,25497305984
Výška trojuholníka: vb = 4,83331537323
Výška trojuholníka: vc = 3,05325181467
Ťažnica: ta = 15,37985564992
Ťažnica: tb = 13,28553302556
Ťažnica: tc = 3,70880992435
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,48771242253
Polomer opísanej kružnice: R = 15,72547222434
Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[7,39547368421; 3,05325181467]
Ťažisko: T[8,7988245614; 1,01875060489]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; -12,53106380377]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 1,48771242253]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,26333562775° = 165°15'48″ = 0,25772029537 rad
∠ B' = β' = 157,56993582612° = 157°34'10″ = 0,39114885517 rad
∠ C' = γ' = 37,16772854613° = 37°10'2″ = 2,49329011483 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=12 c=19
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+12+19=39
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−8)(19,5−12)(19,5−19) S=840,94=29
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 29=7,25 vb=b2 S=122⋅ 29=4,83 vc=c2 S=192⋅ 29=3,05
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 19122+192−82)=14°44′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1982+192−122)=22°25′50" γ=180°−α−β=180°−14°44′12"−22°25′50"=142°49′58"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=19,529=1,49
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,487⋅ 19,58⋅ 12⋅ 19=15,72
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 192−82=15,379 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 82−122=13,285 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 122−192=3,708
Vypočítať ďaľší trojuholník