Trojuholník 8 13 15




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 13   c = 15

Obsah trojuholníka: S = 51,96215242271
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Uhol ∠ A = α = 32,2044227504° = 32°12'15″ = 0,5622069803 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,7965772496° = 87°47'45″ = 1,53223252994 rad

Výška trojuholníka: va = 12,99903810568
Výška trojuholníka: vb = 7,99440806503
Výška trojuholníka: vc = 6,92882032303

Ťažnica: ta = 13,45436240471
Ťažnica: tb = 10,11218742081
Ťažnica: tc = 7,76220873481

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,88767513459
Polomer opísanej kružnice: R = 7,50655534995

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4; 6,92882032303]
Ťažisko: T[6,33333333333; 2,30994010768]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0,28986751346]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,88767513459]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,7965772496° = 147°47'45″ = 0,5622069803 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 92,2044227504° = 92°12'15″ = 1,53223252994 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=13 c=15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+13+15=36

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=236=18

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=18(188)(1813)(1815) S=2700=51,96

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 51,96=12,99 vb=b2 S=132 51,96=7,99 vc=c2 S=152 51,96=6,93

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 13 15132+15282)=32°1215"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 1582+152132)=60° γ=180°αβ=180°32°1215"60°=87°4745"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1851,96=2,89

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,887 188 13 15=7,51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 132+2 15282=13,454 tb=22c2+2a2b2=22 152+2 82132=10,112 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 132152=7,762

Vypočítať ďaľší trojuholník