Trojuholník 8 13 16
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 13 c = 16Obsah trojuholníka: S = 51,68111135716
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5
Uhol ∠ A = α = 29,7977347297° = 29°47'50″ = 0,52200618187 rad
Uhol ∠ B = β = 53,85440789884° = 53°51'15″ = 0,9439930994 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,34985737146° = 96°20'55″ = 1,68215998409 rad
Výška trojuholníka: va = 12,92202783929
Výška trojuholníka: vb = 7,95109405495
Výška trojuholníka: vc = 6,46601391964
Ťažnica: ta = 14,01878457689
Ťažnica: tb = 10,85112672071
Ťažnica: tc = 7,24656883731
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,79435737066
Polomer opísanej kružnice: R = 8,04993621606
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[4,719875; 6,46601391964]
Ťažisko: T[6,906625; 2,15333797321]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -0,89900737004]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,79435737066]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,2032652703° = 150°12'10″ = 0,52200618187 rad
∠ B' = β' = 126,14659210116° = 126°8'45″ = 0,9439930994 rad
∠ C' = γ' = 83,65114262854° = 83°39'5″ = 1,68215998409 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=13 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+13+16=37
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=237=18,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,5(18,5−8)(18,5−13)(18,5−16) S=2670,94=51,68
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 51,68=12,92 vb=b2 S=132⋅ 51,68=7,95 vc=c2 S=162⋅ 51,68=6,46
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 16132+162−82)=29°47′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1682+162−132)=53°51′15" γ=180°−α−β=180°−29°47′50"−53°51′15"=96°20′55"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,551,68=2,79
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,794⋅ 18,58⋅ 13⋅ 16=8,05
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 162−82=14,018 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 82−132=10,851 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 132−162=7,246
Vypočítať ďaľší trojuholník