Trojuholník 8 13 20




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 13   c = 20

Obsah trojuholníka: S = 30,99989919191
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5

Uhol ∠ A = α = 13,79552993996° = 13°47'43″ = 0,24107733958 rad
Uhol ∠ B = β = 22,79882480997° = 22°47'54″ = 0,3987904493 rad
Uhol ∠ C = γ = 143,40664525007° = 143°24'23″ = 2,50329147647 rad

Výška trojuholníka: va = 7,75497479798
Výška trojuholníka: vb = 4,76990756799
Výška trojuholníka: vc = 3.10998991919

Ťažnica: ta = 16,38659696082
Ťažnica: tb = 13,7754977314
Ťažnica: tc = 4,06220192023

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,51221459473
Polomer opísanej kružnice: R = 16,77547390417

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[7,375; 3.10998991919]
Ťažisko: T[9,125; 1,03332997306]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -13,46881799037]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 1,51221459473]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,20547006004° = 166°12'17″ = 0,24107733958 rad
∠ B' = β' = 157,20217519003° = 157°12'6″ = 0,3987904493 rad
∠ C' = γ' = 36,59435474993° = 36°35'37″ = 2,50329147647 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=13 c=20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+13+20=41

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=241=20,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=20,5(20,58)(20,513)(20,520) S=960,94=31

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 31=7,75 vb=b2 S=132 31=4,77 vc=c2 S=202 31=3,1

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 13 20132+20282)=13°4743"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 2082+202132)=22°4754" γ=180°αβ=180°13°4743"22°4754"=143°2423"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=20,531=1,51

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,512 20,58 13 20=16,77

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 132+2 20282=16,386 tb=22c2+2a2b2=22 202+2 82132=13,775 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 132202=4,062

Vypočítať ďaľší trojuholník