Trojuholník 8 13 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 13 c = 20Obsah trojuholníka: S = 30,99989919191
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Uhol ∠ A = α = 13,79552993996° = 13°47'43″ = 0,24107733958 rad
Uhol ∠ B = β = 22,79882480997° = 22°47'54″ = 0,3987904493 rad
Uhol ∠ C = γ = 143,40664525007° = 143°24'23″ = 2,50329147647 rad
Výška trojuholníka: va = 7,75497479798
Výška trojuholníka: vb = 4,76990756799
Výška trojuholníka: vc = 3.10998991919
Ťažnica: ta = 16,38659696082
Ťažnica: tb = 13,7754977314
Ťažnica: tc = 4,06220192023
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,51221459473
Polomer opísanej kružnice: R = 16,77547390417
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[7,375; 3.10998991919]
Ťažisko: T[9,125; 1,03332997306]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -13,46881799037]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 1,51221459473]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 166,20547006004° = 166°12'17″ = 0,24107733958 rad
∠ B' = β' = 157,20217519003° = 157°12'6″ = 0,3987904493 rad
∠ C' = γ' = 36,59435474993° = 36°35'37″ = 2,50329147647 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=13 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+13+20=41
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−8)(20,5−13)(20,5−20) S=960,94=31
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 31=7,75 vb=b2 S=132⋅ 31=4,77 vc=c2 S=202⋅ 31=3,1
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 20132+202−82)=13°47′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2082+202−132)=22°47′54" γ=180°−α−β=180°−13°47′43"−22°47′54"=143°24′23"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=20,531=1,51
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,512⋅ 20,58⋅ 13⋅ 20=16,77
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 202−82=16,386 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 82−132=13,775 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 132−202=4,062
Vypočítať ďaľší trojuholník