Trojuholník 8 14 17

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 14 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 55,5298708791
Obvod trojuholníka: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5

Uhol ∠ A = α = 27,81656217566° = 27°48'56″ = 0,48554741831 rad
Uhol ∠ B = β = 54,74657416998° = 54°44'45″ = 0,95554934441 rad
Uhol ∠ C = γ = 97,43986365436° = 97°26'19″ = 1,70106250263 rad

Výška trojuholníka: v_a = 13,88221771978
Výška trojuholníka: v_b = 7,93326726844
Výška trojuholníka: v_c = 6,53327892695

Ťažnica: t_a = 15,05499169433
Ťažnica: t_b = 11,29215897906
Ťažnica: t_c = 7,59993420768

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,84876260918
Polomer opísanej kružnice: R = 8,57221424172

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[4,61876470588; 6,53327892695]
Ťažisko: T[7,20658823529; 2,17875964232]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -1,11097862951]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,84876260918]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,18443782434° = 152°11'4″ = 0,48554741831 rad
∠ B' = β' = 125,25442583002° = 125°15'15″ = 0,95554934441 rad
∠ C' = γ' = 82,56113634564° = 82°33'41″ = 1,70106250263 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 14 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 14 + 17 = 39

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 9}{2} = 19, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19, 5 (19, 5 - 8) (19, 5 - 14) (19, 5 - 17) S = 3083, 44 = 55, 53

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5 3}{8} = 13, 88 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5 3}{1 4} = 7, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 5 , 5 3}{1 7} = 6, 53

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 7}) = 27 ° 4 8^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 7}) = 54 ° 4 4^{'} 45 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 4 8^{'} 56 " - 54 ° 4 4^{'} 45 " = 97 ° 2 6^{'} 19 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 5 , 5 3}{1 9 , 5} = 2, 85

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 4 \cdot 1 7}{4 \cdot 2 , 8 4 8 \cdot 1 9 , 5} = 8, 57

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 15, 05 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 11, 292 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 7, 599

Vypočítať ďaľší trojuholník