Trojuholník 8 15 21

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 15 c = 21

Obsah trojuholníka: S = 46,4332747065
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22

Uhol ∠ A = α = 17,14662099989° = 17°8'46″ = 0,29992578187 rad
Uhol ∠ B = β = 33,55773097619° = 33°33'26″ = 0,58656855435 rad
Uhol ∠ C = γ = 129,29664802392° = 129°17'47″ = 2,25766492914 rad

Výška trojuholníka: v_a = 11,60881867662
Výška trojuholníka: v_b = 6,1911032942
Výška trojuholníka: v_c = 4,42221663871

Ťažnica: t_a = 17,80444938148
Ťažnica: t_b = 14,00989257261
Ťažnica: t_c = 5,85223499554

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,1110579412
Polomer opísanej kružnice: R = 13,5688010506

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[6,66766666667; 4,42221663871]
Ťažisko: T[9,22222222222; 1,47440554624]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -8,59330733205]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,1110579412]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,85437900011° = 162°51'14″ = 0,29992578187 rad
∠ B' = β' = 146,44326902381° = 146°26'34″ = 0,58656855435 rad
∠ C' = γ' = 50,70435197608° = 50°42'13″ = 2,25766492914 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 15 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 15 + 21 = 44

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 4}{2} = 22

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22 (22 - 8) (22 - 15) (22 - 21) S = 2156 = 46, 43

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 6 , 4 3}{8} = 11, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 6 , 4 3}{1 5} = 6, 19 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 6 , 4 3}{2 1} = 4, 42

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 1}) = 17 ° 8^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 1}) = 33 ° 3 3^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 17 ° 8^{'} 46 " - 33 ° 3 3^{'} 26 " = 129 ° 1 7^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 6 , 4 3}{2 2} = 2, 11

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 5 \cdot 2 1}{4 \cdot 2 , 1 1 1 \cdot 2 2} = 13, 57

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 17, 804 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 14, 009 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 5, 852

Vypočítať ďaľší trojuholník