Trojuholník 8 17 20

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 17 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 66,97771416231
Obvod trojuholníka: o = 45
Semiperimeter (poloobvod): s = 22,5

Uhol ∠ A = α = 23,20325730572° = 23°12'9″ = 0,40549612948 rad
Uhol ∠ B = β = 56,84771120714° = 56°50'50″ = 0,99221692759 rad
Uhol ∠ C = γ = 99,95503148714° = 99°57'1″ = 1,74444620829 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,74442854058
Výška trojuholníka: v_b = 7,88796637204
Výška trojuholníka: v_c = 6,69877141623

Ťažnica: t_a = 18,12545689604
Ťažnica: t_b = 12,63992246598
Ťažnica: t_c = 8,74664278423

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,97767618499
Polomer opísanej kružnice: R = 10,1532717532

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[4,375; 6,69877141623]
Ťažisko: T[8,125; 2,23325713874]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -1,75443298677]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,97767618499]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,79774269428° = 156°47'51″ = 0,40549612948 rad
∠ B' = β' = 123,15328879286° = 123°9'10″ = 0,99221692759 rad
∠ C' = γ' = 80,05496851286° = 80°2'59″ = 1,74444620829 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 17 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 17 + 20 = 45

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 5}{2} = 22, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22, 5 (22, 5 - 8) (22, 5 - 17) (22, 5 - 20) S = 4485, 94 = 66, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 6 , 9 8}{8} = 16, 74 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 6 , 9 8}{1 7} = 7, 88 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 6 , 9 8}{2 0} = 6, 7

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 23 ° 1 2^{'} 9 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 0}) = 56 ° 5 0^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 23 ° 1 2^{'} 9 " - 56 ° 5 0^{'} 50 " = 99 ° 5 7^{'} 1 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 6 , 9 8}{2 2 , 5} = 2, 98

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 2 , 9 7 7 \cdot 2 2 , 5} = 10, 15

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 18, 125 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 12, 639 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 8, 746

Vypočítať ďaľší trojuholník