Trojuholník 8 17 21
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 17 c = 21Obsah trojuholníka: S = 64,34328317686
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23
Uhol ∠ A = α = 21,12986972543° = 21°7'43″ = 0,36987653337 rad
Uhol ∠ B = β = 49,99547991151° = 49°59'41″ = 0,87325738534 rad
Uhol ∠ C = γ = 108,87765036306° = 108°52'35″ = 1.99002534664 rad
Výška trojuholníka: va = 16,08657079421
Výška trojuholníka: vb = 7,5769744914
Výška trojuholníka: vc = 6,12878887399
Ťažnica: ta = 18,68215416923
Ťažnica: tb = 13,42657215821
Ťažnica: tc = 8,1399410298
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,79875144247
Polomer opísanej kružnice: R = 11,09768072181
Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[5,14328571429; 6,12878887399]
Ťažisko: T[8,71442857143; 2,043262958]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -3,59901435117]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,79875144247]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,87113027457° = 158°52'17″ = 0,36987653337 rad
∠ B' = β' = 130,00552008849° = 130°19″ = 0,87325738534 rad
∠ C' = γ' = 71,12334963694° = 71°7'25″ = 1.99002534664 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=17 c=21
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+17+21=46
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=246=23
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=23(23−8)(23−17)(23−21) S=4140=64,34
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 64,34=16,09 vb=b2 S=172⋅ 64,34=7,57 vc=c2 S=212⋅ 64,34=6,13
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 17⋅ 21172+212−82)=21°7′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2182+212−172)=49°59′41" γ=180°−α−β=180°−21°7′43"−49°59′41"=108°52′35"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2364,34=2,8
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,798⋅ 238⋅ 17⋅ 21=11,1
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 172+2⋅ 212−82=18,682 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 212+2⋅ 82−172=13,426 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 172−212=8,139
Vypočítať ďaľší trojuholník