Trojuholník 8 20 24
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 20 c = 24Obsah trojuholníka: S = 74,94399759808
Obvod trojuholníka: o = 52
Semiperimeter (poloobvod): s = 26
Uhol ∠ A = α = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Uhol ∠ B = β = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Uhol ∠ C = γ = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,92883674304 rad
Výška trojuholníka: va = 18,73549939952
Výška trojuholníka: vb = 7,49439975981
Výška trojuholníka: vc = 6,24549979984
Ťažnica: ta = 21,72655609824
Ťažnica: tb = 14,83223969742
Ťažnica: tc = 9,38108315196
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,88223067685
Polomer opísanej kružnice: R = 12,81102523044
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[5; 6,24549979984]
Ťažisko: T[9,66766666667; 2,08216659995]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -4,48435883065]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,88223067685]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ B' = β' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ C' = γ' = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,92883674304 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=20 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+20+24=52
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=252=26
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26(26−8)(26−20)(26−24) S=5616=74,94
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 74,94=18,73 vb=b2 S=202⋅ 74,94=7,49 vc=c2 S=242⋅ 74,94=6,24
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 24202+242−82)=18°11′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2482+242−202)=51°19′4" γ=180°−α−β=180°−18°11′42"−51°19′4"=110°29′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2674,94=2,88
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,882⋅ 268⋅ 20⋅ 24=12,81
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 242−82=21,726 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 82−202=14,832 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 202−242=9,381
Vypočítať ďaľší trojuholník