Trojuholník 8 22 24
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 22 c = 24Obsah trojuholníka: S = 87,72111491033
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Uhol ∠ A = α = 19,40770433824° = 19°24'25″ = 0,33987168051 rad
Uhol ∠ B = β = 66,03105176822° = 66°1'50″ = 1,15224499404 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,56224389353° = 94°33'45″ = 1,65504259081 rad
Výška trojuholníka: va = 21,93302872758
Výška trojuholníka: vb = 7,97546499185
Výška trojuholníka: vc = 7,31100957586
Ťažnica: ta = 22,67215680975
Ťažnica: tb = 14,10767359797
Ťažnica: tc = 11,4021754251
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,24989314483
Polomer opísanej kružnice: R = 12,03881459978
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[3,25; 7,31100957586]
Ťažisko: T[9,08333333333; 2,43766985862]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -0,95875797953]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 3,24989314483]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,59329566176° = 160°35'35″ = 0,33987168051 rad
∠ B' = β' = 113,96994823178° = 113°58'10″ = 1,15224499404 rad
∠ C' = γ' = 85,43875610647° = 85°26'15″ = 1,65504259081 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=22 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+22+24=54
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−8)(27−22)(27−24) S=7695=87,72
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 87,72=21,93 vb=b2 S=222⋅ 87,72=7,97 vc=c2 S=242⋅ 87,72=7,31
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 24222+242−82)=19°24′25" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 2482+242−222)=66°1′50" γ=180°−α−β=180°−19°24′25"−66°1′50"=94°33′45"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2787,72=3,25
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,249⋅ 278⋅ 22⋅ 24=12,04
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 242−82=22,672 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 82−222=14,107 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 222−242=11,402
Vypočítať ďaľší trojuholník