Trojuholník 8 22 27

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 22 c = 27

Obsah trojuholníka: S = 75,47547474325
Obvod trojuholníka: o = 57
Semiperimeter (poloobvod): s = 28,5

Uhol ∠ A = α = 14,7221668176° = 14°43'18″ = 0,25769415811 rad
Uhol ∠ B = β = 44,33440313162° = 44°20'3″ = 0,77437748172 rad
Uhol ∠ C = γ = 120,94443005078° = 120°56'39″ = 2,11108762554 rad

Výška trojuholníka: v_a = 18,86986868581
Výška trojuholníka: v_b = 6,86113406757
Výška trojuholníka: v_c = 5,5910722032

Ťažnica: t_a = 24.33002057604
Ťažnica: t_b = 16,59881926727
Ťažnica: t_c = 9,57986220303

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,6488236752
Polomer opísanej kružnice: R = 15,74403640345

Súradnice vrcholov: A[27; 0] B[0; 0] C[5,72222222222; 5,5910722032]
Ťažisko: T[10,90774074074; 1,86435740107]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,5; -8,09437667337]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,6488236752]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,2788331824° = 165°16'42″ = 0,25769415811 rad
∠ B' = β' = 135,66659686838° = 135°39'57″ = 0,77437748172 rad
∠ C' = γ' = 59,05656994922° = 59°3'21″ = 2,11108762554 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 22 c = 27

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 22 + 27 = 57

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 7}{2} = 28, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 28, 5 (28, 5 - 8) (28, 5 - 22) (28, 5 - 27) S = 5696, 44 = 75, 47

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 5 , 4 7}{8} = 18, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 5 , 4 7}{2 2} = 6, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 5 , 4 7}{2 7} = 5, 59

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 7}) = 14 ° 4 3^{'} 18 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 7 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 7}) = 44 ° 2 0^{'} 3 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 4 3^{'} 18 " - 44 ° 2 0^{'} 3 " = 120 ° 5 6^{'} 39 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 5 , 4 7}{2 8 , 5} = 2, 65

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 2 2 \cdot 2 7}{4 \cdot 2 , 6 4 8 \cdot 2 8 , 5} = 15, 74

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 24, 3 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 16, 598 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 7 ^{2}}{2} = 9, 579

Vypočítať ďaľší trojuholník