Trojuholník 8 22 28

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 22 c = 28

Obsah trojuholníka: S = 65,29216533716
Obvod trojuholníka: o = 58
Semiperimeter (poloobvod): s = 29

Uhol ∠ A = α = 12,23987557679° = 12°14'20″ = 0,21436065845 rad
Uhol ∠ B = β = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Uhol ∠ C = γ = 132,10221565359° = 132°6'8″ = 2,30656175805 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,32329133429
Výška trojuholníka: v_b = 5,9365604852
Výška trojuholníka: v_c = 4,66436895265

Ťažnica: t_a = 24,86596057893
Ťažnica: t_b = 17,40768951855
Ťažnica: t_c = 8,83217608663

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,25114363232
Polomer opísanej kružnice: R = 18,86991806131

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[6,5; 4,66436895265]
Ťažisko: T[11,5; 1,55545631755]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; -12,65109279111]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,25114363232]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,76112442321° = 167°45'40″ = 0,21436065845 rad
∠ B' = β' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ C' = γ' = 47,89878434641° = 47°53'52″ = 2,30656175805 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 22 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 22 + 28 = 58

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8}{2} = 29

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29 (29 - 8) (29 - 22) (29 - 28) S = 4263 = 65, 29

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{8} = 16, 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{2 2} = 5, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 5 , 2 9}{2 8} = 4, 66

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 8 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 8}) = 12 ° 1 4^{'} 20 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 2 8}) = 35 ° 3 9^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 1 4^{'} 20 " - 35 ° 3 9^{'} 33 " = 132 ° 6^{'} 8 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 5 , 2 9}{2 9} = 2, 25

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 2 2 \cdot 2 8}{4 \cdot 2 , 2 5 1 \cdot 2 9} = 18, 87

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 24, 86 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 17, 407 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 8, 832

Vypočítať ďaľší trojuholník