Trojuholník 8 26 30




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 26   c = 30

Obsah trojuholníka: S = 96
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Uhol ∠ A = α = 14,25500326978° = 14°15' = 0,24987099891 rad
Uhol ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,96655874465 rad

Výška trojuholníka: va = 24
Výška trojuholníka: vb = 7,38546153846
Výška trojuholníka: vc = 6,4

Ťažnica: ta = 27,78548879789
Ťažnica: tb = 17,6921806013
Ťažnica: tc = 12,04215945788

Polomer vpísanej kružnice: r = 3
Polomer opísanej kružnice: R = 16,25

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[4,8; 6,4]
Ťažisko: T[11,6; 2,13333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -6,25]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,75499673022° = 165°45' = 0,24987099891 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,96655874465 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=26 c=30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+26+30=64

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=264=32

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=32(328)(3226)(3230) S=9216=96

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 96=24 vb=b2 S=262 96=7,38 vc=c2 S=302 96=6,4

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 26 30262+30282)=14°15  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 3082+302262)=53°748" γ=180°αβ=180°14°1553°748"=112°3711"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=3296=3

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3 328 26 30=16,25

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 262+2 30282=27,785 tb=22c2+2a2b2=22 302+2 82262=17,692 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 262302=12,042

Vypočítať ďaľší trojuholník