Trojuholník 8 9 15
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 9 c = 15Obsah trojuholníka: S = 29,93332590942
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16
Uhol ∠ A = α = 26,32545765375° = 26°19'28″ = 0,45994505348 rad
Uhol ∠ B = β = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Uhol ∠ C = γ = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 2,1659827297 rad
Výška trojuholníka: va = 7,48333147735
Výška trojuholníka: vb = 6,65218353543
Výška trojuholníka: vc = 3,99111012126
Ťažnica: ta = 11,70546999107
Ťažnica: tb = 11,14767484048
Ťažnica: tc = 4,03111288741
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,87108286934
Polomer opísanej kružnice: R = 9,02200669145
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,93333333333; 3,99111012126]
Ťažisko: T[7,31111111111; 1,33303670709]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -5,01111482859]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 1,87108286934]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,67554234625° = 153°40'32″ = 0,45994505348 rad
∠ B' = β' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ C' = γ' = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 2,1659827297 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=9 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+9+15=32
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=232=16
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16(16−8)(16−9)(16−15) S=896=29,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 29,93=7,48 vb=b2 S=92⋅ 29,93=6,65 vc=c2 S=152⋅ 29,93=3,99
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1592+152−82)=26°19′28" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1582+152−92)=29°55′35" γ=180°−α−β=180°−26°19′28"−29°55′35"=123°44′56"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1629,93=1,87
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,871⋅ 168⋅ 9⋅ 15=9,02
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 152−82=11,705 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 82−92=11,147 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 92−152=4,031
Vypočítať ďaľší trojuholník