Trojuholník 8 9 15




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 9   c = 15

Obsah trojuholníka: S = 29,93332590942
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16

Uhol ∠ A = α = 26,32545765375° = 26°19'28″ = 0,45994505348 rad
Uhol ∠ B = β = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Uhol ∠ C = γ = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 2,1659827297 rad

Výška trojuholníka: va = 7,48333147735
Výška trojuholníka: vb = 6,65218353543
Výška trojuholníka: vc = 3,99111012126

Ťažnica: ta = 11,70546999107
Ťažnica: tb = 11,14767484048
Ťažnica: tc = 4,03111288741

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,87108286934
Polomer opísanej kružnice: R = 9,02200669145

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,93333333333; 3,99111012126]
Ťažisko: T[7,31111111111; 1,33303670709]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -5,01111482859]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 1,87108286934]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,67554234625° = 153°40'32″ = 0,45994505348 rad
∠ B' = β' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ C' = γ' = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 2,1659827297 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=9 c=15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+9+15=32

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=232=16

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=16(168)(169)(1615) S=896=29,93

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 29,93=7,48 vb=b2 S=92 29,93=6,65 vc=c2 S=152 29,93=3,99

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 1592+15282)=26°1928"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 1582+15292)=29°5535" γ=180°αβ=180°26°1928"29°5535"=123°4456"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1629,93=1,87

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,871 168 9 15=9,02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 15282=11,705 tb=22c2+2a2b2=22 152+2 8292=11,147 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 92152=4,031

Vypočítať ďaľší trojuholník