Trojuholník 8 9 16

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 9 c = 16

Obsah trojuholníka: S = 22,93333272771
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Uhol ∠ A = α = 18,57333497187° = 18°34'24″ = 0,32441661057 rad
Uhol ∠ B = β = 20,99878697385° = 20°59'52″ = 0,36664819628 rad
Uhol ∠ C = γ = 140,42987805428° = 140°25'44″ = 2,4510944585 rad

Výška trojuholníka: v_a = 5,73333318193
Výška trojuholníka: v_b = 5,09662949505
Výška trojuholníka: v_c = 2,86766659096

Ťažnica: t_a = 12,34990890352
Ťažnica: t_b = 11,82215904175
Ťažnica: t_c = 2,91554759474

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,39898986229
Polomer opísanej kružnice: R = 12,55881428512

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[7,469875; 2,86766659096]
Ťažisko: T[7,82329166667; 0,95655553032]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -9,68802351145]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 1,39898986229]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,42766502813° = 161°25'36″ = 0,32441661057 rad
∠ B' = β' = 159,00221302615° = 159°8″ = 0,36664819628 rad
∠ C' = γ' = 39,57112194572° = 39°34'16″ = 2,4510944585 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 9 c = 16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 9 + 16 = 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 8) (16, 5 - 9) (16, 5 - 16) S = 525, 94 = 22, 93

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 2 , 9 3}{8} = 5, 73 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 2 , 9 3}{9} = 5, 1 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 2 , 9 3}{1 6} = 2, 87

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 6}) = 18 ° 3 4^{'} 24 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 6 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 6}) = 20 ° 5 9^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 3 4^{'} 24 " - 20 ° 5 9^{'} 52 " = 140 ° 2 5^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 2 , 9 3}{1 6 , 5} = 1, 39

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 1 6}{4 \cdot 1 , 3 9 \cdot 1 6 , 5} = 12, 56

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 12, 349 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 11, 822 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 6 ^{2}}{2} = 2, 915

Vypočítať ďaľší trojuholník