Trojuholník 9 10 11

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 10 c = 11

Obsah trojuholníka: S = 42,42664068712
Obvod trojuholníka: o = 30
Semiperimeter (poloobvod): s = 15

Uhol ∠ A = α = 50,47988036414° = 50°28'44″ = 0,8811021326 rad
Uhol ∠ B = β = 58,99224169931° = 58°59'33″ = 1,03296119102 rad
Uhol ∠ C = γ = 70,52987793655° = 70°31'44″ = 1,23109594173 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,42880904158
Výška trojuholníka: v_b = 8,48552813742
Výška trojuholníka: v_c = 7,71438921584

Ťažnica: t_a = 9,5
Ťažnica: t_b = 8,71877978871
Ťažnica: t_c = 7,76220873481

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,82884271247
Polomer opísanej kružnice: R = 5,83436309448

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[4,63663636364; 7,71438921584]
Ťažisko: T[5,21221212121; 2,57112973861]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,94545436483]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,82884271247]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,52111963586° = 129°31'16″ = 0,8811021326 rad
∠ B' = β' = 121,00875830069° = 121°27″ = 1,03296119102 rad
∠ C' = γ' = 109,47112206345° = 109°28'16″ = 1,23109594173 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 10 c = 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 10 + 11 = 30

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 0}{2} = 15

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 15 (15 - 9) (15 - 10) (15 - 11) S = 1800 = 42, 43

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 2 , 4 3}{9} = 9, 43 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 2 , 4 3}{1 0} = 8, 49 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 2 , 4 3}{1 1} = 7, 71

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 50 ° 2 8^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 1}) = 58 ° 5 9^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 50 ° 2 8^{'} 44 " - 58 ° 5 9^{'} 33 " = 70 ° 3 1^{'} 44 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 2 , 4 3}{1 5} = 2, 83

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 2 , 8 2 8 \cdot 1 5} = 5, 83

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 9, 5 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 8, 718 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 7, 762

Vypočítať ďaľší trojuholník