Trojuholník 9 10 12
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 10 c = 12Obsah trojuholníka: S = 44,03990451758
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Uhol ∠ A = α = 47,22114422911° = 47°13'17″ = 0,82441696455 rad
Uhol ∠ B = β = 54,64105803778° = 54°38'26″ = 0,95436580328 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,13879773311° = 78°8'17″ = 1,36437649753 rad
Výška trojuholníka: va = 9,78664544835
Výška trojuholníka: vb = 8,80878090352
Výška trojuholníka: vc = 7,34398408626
Ťažnica: ta = 10,08771205009
Ťažnica: tb = 9,35441434669
Ťažnica: tc = 7,38224115301
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,8411228721
Polomer opísanej kružnice: R = 6,13109231143
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[5,20883333333; 7,34398408626]
Ťažisko: T[5,73661111111; 2,44766136209]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 1,26602453068]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,8411228721]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,77985577089° = 132°46'43″ = 0,82441696455 rad
∠ B' = β' = 125,35994196222° = 125°21'34″ = 0,95436580328 rad
∠ C' = γ' = 101,86220226689° = 101°51'43″ = 1,36437649753 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=10 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+10+12=31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−9)(15,5−10)(15,5−12) S=1939,44=44,04
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 44,04=9,79 vb=b2 S=102⋅ 44,04=8,81 vc=c2 S=122⋅ 44,04=7,34
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 12102+122−92)=47°13′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1292+122−102)=54°38′26" γ=180°−α−β=180°−47°13′17"−54°38′26"=78°8′17"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=15,544,04=2,84
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,841⋅ 15,59⋅ 10⋅ 12=6,13
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 122−92=10,087 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 92−102=9,354 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 102−122=7,382
Vypočítať ďaľší trojuholník