Trojuholník 9 10 12




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9   b = 10   c = 12

Obsah trojuholníka: S = 44,03990451758
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5

Uhol ∠ A = α = 47,22114422911° = 47°13'17″ = 0,82441696455 rad
Uhol ∠ B = β = 54,64105803778° = 54°38'26″ = 0,95436580328 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,13879773311° = 78°8'17″ = 1,36437649753 rad

Výška trojuholníka: va = 9,78664544835
Výška trojuholníka: vb = 8,80878090352
Výška trojuholníka: vc = 7,34398408626

Ťažnica: ta = 10,08771205009
Ťažnica: tb = 9,35441434669
Ťažnica: tc = 7,38224115301

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,8411228721
Polomer opísanej kružnice: R = 6,13109231143

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[5,20883333333; 7,34398408626]
Ťažisko: T[5,73661111111; 2,44766136209]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 1,26602453068]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,8411228721]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 132,77985577089° = 132°46'43″ = 0,82441696455 rad
∠ B' = β' = 125,35994196222° = 125°21'34″ = 0,95436580328 rad
∠ C' = γ' = 101,86220226689° = 101°51'43″ = 1,36437649753 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=10 c=12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=9+10+12=31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=231=15,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=15,5(15,59)(15,510)(15,512) S=1939,44=44,04

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=92 44,04=9,79 vb=b2 S=102 44,04=8,81 vc=c2 S=122 44,04=7,34

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 12102+12292)=47°1317"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 9 1292+122102)=54°3826" γ=180°αβ=180°47°1317"54°3826"=78°817"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=15,544,04=2,84

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,841 15,59 10 12=6,13

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 12292=10,087 tb=22c2+2a2b2=22 122+2 92102=9,354 tc=22a2+2b2c2=22 92+2 102122=7,382

Vypočítať ďaľší trojuholník