Trojuholník 9 10 14

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 10 c = 14

Obsah trojuholníka: S = 44,84334777866
Obvod trojuholníka: o = 33
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,5

Uhol ∠ A = α = 39,83881498056° = 39°50'17″ = 0,6955306882 rad
Uhol ∠ B = β = 45,38216583472° = 45°22'54″ = 0,79220593582 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,78801918472° = 94°46'49″ = 1,65442264134 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,96552172859
Výška trojuholníka: v_b = 8,96986955573
Výška trojuholníka: v_c = 6,40662111124

Ťažnica: t_a = 11,30326545555
Ťažnica: t_b = 10,65436378763
Ťažnica: t_c = 6,44220493634

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,71877865325
Polomer opísanej kružnice: R = 7,02444328841

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[6,32114285714; 6,40662111124]
Ťažisko: T[6,77438095238; 2,13554037041]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -0,5855369407]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,71877865325]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,16218501944° = 140°9'43″ = 0,6955306882 rad
∠ B' = β' = 134,61883416529° = 134°37'6″ = 0,79220593582 rad
∠ C' = γ' = 85,22198081528° = 85°13'11″ = 1,65442264134 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 10 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 10 + 14 = 33

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3}{2} = 16, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 5 (16, 5 - 9) (16, 5 - 10) (16, 5 - 14) S = 2010, 94 = 44, 84

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 , 8 4}{9} = 9, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 , 8 4}{1 0} = 8, 97 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 , 8 4}{1 4} = 6, 41

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 4}) = 39 ° 5 0^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 4 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 4}) = 45 ° 2 2^{'} 54 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 5 0^{'} 17 " - 45 ° 2 2^{'} 54 " = 94 ° 4 6^{'} 49 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 , 8 4}{1 6 , 5} = 2, 72

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 0 \cdot 1 4}{4 \cdot 2 , 7 1 8 \cdot 1 6 , 5} = 7, 02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 11, 303 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 10, 654 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 6, 442

Vypočítať ďaľší trojuholník