Trojuholník 9 10 15

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 10 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 43,63548484585
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Uhol ∠ A = α = 35,57771025511° = 35°34'38″ = 0,62109375778 rad
Uhol ∠ B = β = 40,274389294° = 40°16'26″ = 0,70329120344 rad
Uhol ∠ C = γ = 104,14990045089° = 104°8'56″ = 1,81877430414 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,69766329908
Výška trojuholníka: v_b = 8,72769696917
Výška trojuholníka: v_c = 5,81879797945

Ťažnica: t_a = 11,92768604419
Ťažnica: t_b = 11,3143708499
Ťažnica: t_c = 5,85223499554

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,56767557917
Polomer opísanej kružnice: R = 7,73546435687

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,86766666667; 5,81879797945]
Ťažisko: T[7,28988888889; 1,93993265982]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -1,89106906501]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,56767557917]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,42328974489° = 144°25'22″ = 0,62109375778 rad
∠ B' = β' = 139,726610706° = 139°43'34″ = 0,70329120344 rad
∠ C' = γ' = 75,85109954911° = 75°51'4″ = 1,81877430414 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 10 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 10 + 15 = 34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 4}{2} = 17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 17 (17 - 9) (17 - 10) (17 - 15) S = 1904 = 43, 63

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 3 , 6 3}{9} = 9, 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 3 , 6 3}{1 0} = 8, 73 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 3 , 6 3}{1 5} = 5, 82

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 5}) = 35 ° 3 4^{'} 38 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 5}) = 40 ° 1 6^{'} 26 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 3 4^{'} 38 " - 40 ° 1 6^{'} 26 " = 104 ° 8^{'} 56 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 3 , 6 3}{1 7} = 2, 57

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 0 \cdot 1 5}{4 \cdot 2 , 5 6 7 \cdot 1 7} = 7, 73

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 11, 927 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 11, 314 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 5, 852

Vypočítať ďaľší trojuholník