Trojuholník 9 10 17




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9   b = 10   c = 17

Obsah trojuholníka: S = 36
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Uhol ∠ A = α = 25,05876154183° = 25°3'27″ = 0,43773378917 rad
Uhol ∠ B = β = 28,07224869359° = 28°4'21″ = 0,49899573263 rad
Uhol ∠ C = γ = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 2,21442974356 rad

Výška trojuholníka: va = 8
Výška trojuholníka: vb = 7,2
Výška trojuholníka: vc = 4,23552941176

Ťažnica: ta = 13.22003787824
Ťažnica: tb = 12,64991106407
Ťažnica: tc = 4,27220018727

Polomer vpísanej kružnice: r = 2
Polomer opísanej kružnice: R = 10,625

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[7,94111764706; 4,23552941176]
Ťažisko: T[8,31437254902; 1,41217647059]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -6,375]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 2]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,94223845817° = 154°56'33″ = 0,43773378917 rad
∠ B' = β' = 151,92875130642° = 151°55'39″ = 0,49899573263 rad
∠ C' = γ' = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 2,21442974356 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=10 c=17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=9+10+17=36

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=236=18

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=18(189)(1810)(1817) S=1296=36

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=92 36=8 vb=b2 S=102 36=7,2 vc=c2 S=172 36=4,24

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 10 17102+17292)=25°327"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 9 1792+172102)=28°421" γ=180°αβ=180°25°327"28°421"=126°5212"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1836=2

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2 189 10 17=10,63

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 102+2 17292=13,2 tb=22c2+2a2b2=22 172+2 92102=12,649 tc=22a2+2b2c2=22 92+2 102172=4,272

Vypočítať ďaľší trojuholník