Trojuholník 9 11 14




Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9   b = 11   c = 14

Obsah trojuholníka: S = 49,47772675074
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17

Uhol ∠ A = α = 39,98331214543° = 39°58'59″ = 0,69878371146 rad
Uhol ∠ B = β = 51,75333801217° = 51°45'12″ = 0,90332668822 rad
Uhol ∠ C = γ = 88,26334984241° = 88°15'49″ = 1,54404886568 rad

Výška trojuholníka: va = 10,9954948335
Výška trojuholníka: vb = 8,99658668195
Výška trojuholníka: vc = 7,06881810725

Ťažnica: ta = 11,75879760163
Ťažnica: tb = 10,40443260233
Ťažnica: tc = 7,21111025509

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,91104275004
Polomer opísanej kružnice: R = 7,00332161729

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[5,57114285714; 7,06881810725]
Ťažisko: T[6,52438095238; 2,35660603575]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; 0,21222186719]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,91104275004]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,01768785457° = 140°1'1″ = 0,69878371146 rad
∠ B' = β' = 128,24766198784° = 128°14'48″ = 0,90332668822 rad
∠ C' = γ' = 91,73765015759° = 91°44'11″ = 1,54404886568 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=11 c=14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=9+11+14=34

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=234=17

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=17(179)(1711)(1714) S=2448=49,48

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=92 49,48=10,99 vb=b2 S=112 49,48=9 vc=c2 S=142 49,48=7,07

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 11 14112+14292)=39°5859"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 9 1492+142112)=51°4512" γ=180°αβ=180°39°5859"51°4512"=88°1549"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1749,48=2,91

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,91 179 11 14=7

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 112+2 14292=11,758 tb=22c2+2a2b2=22 142+2 92112=10,404 tc=22a2+2b2c2=22 92+2 112142=7,211

Vypočítať ďaľší trojuholník