Trojuholník 9 11 15
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 11 c = 15Obsah trojuholníka: S = 49,16549010982
Obvod trojuholníka: o = 35
Semiperimeter (poloobvod): s = 17,5
Uhol ∠ A = α = 36,58795428375° = 36°34'46″ = 0,63884334614 rad
Uhol ∠ B = β = 46,75498273458° = 46°44'59″ = 0,81659384119 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,67106298167° = 96°40'14″ = 1,68772207803 rad
Výška trojuholníka: va = 10,92655335774
Výška trojuholníka: vb = 8,9399072927
Výška trojuholníka: vc = 6,55553201464
Ťažnica: ta = 12,35992070943
Ťažnica: tb = 11,07992599031
Ťažnica: tc = 6,69895440801
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,80994229199
Polomer opísanej kružnice: R = 7,55111186173
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,16766666667; 6,55553201464]
Ťažisko: T[7,05655555556; 2,18551067155]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -0,87771501424]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,80994229199]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,42204571625° = 143°25'14″ = 0,63884334614 rad
∠ B' = β' = 133,25501726542° = 133°15'1″ = 0,81659384119 rad
∠ C' = γ' = 83,32993701833° = 83°19'46″ = 1,68772207803 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=11 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+11+15=35
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=235=17,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17,5(17,5−9)(17,5−11)(17,5−15) S=2417,19=49,16
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 49,16=10,93 vb=b2 S=112⋅ 49,16=8,94 vc=c2 S=152⋅ 49,16=6,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 15112+152−92)=36°34′46" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1592+152−112)=46°44′59" γ=180°−α−β=180°−36°34′46"−46°44′59"=96°40′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=17,549,16=2,81
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,809⋅ 17,59⋅ 11⋅ 15=7,55
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 152−92=12,359 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 92−112=11,079 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 112−152=6,69
Vypočítať ďaľší trojuholník