Trojuholník 9 11 16
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 11 c = 16Obsah trojuholníka: S = 47,62435235992
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Uhol ∠ A = α = 32,76437577589° = 32°45'50″ = 0,57218354482 rad
Uhol ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,84770229576 rad
Výška trojuholníka: va = 10,58330052443
Výška trojuholníka: vb = 8,65988224726
Výška trojuholníka: vc = 5,95329404499
Ťažnica: ta = 12,97111217711
Ťažnica: tb = 11,75879760163
Ťažnica: tc = 6,08327625303
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,64657513111
Polomer opísanej kružnice: R = 8,31552184062
Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[6,75; 5,95329404499]
Ťažisko: T[7,58333333333; 1,98443134833]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -2,26877868381]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,64657513111]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,23662422411° = 147°14'10″ = 0,57218354482 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,84770229576 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=11 c=16
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+11+16=36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 47,62=10,58 vb=b2 S=112⋅ 47,62=8,66 vc=c2 S=162⋅ 47,62=5,95
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 16112+162−92)=32°45′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1692+162−112)=41°24′35" γ=180°−α−β=180°−32°45′50"−41°24′35"=105°49′36"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1847,62=2,65
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,646⋅ 189⋅ 11⋅ 16=8,32
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 162−92=12,971 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 92−112=11,758 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 112−162=6,083
Vypočítať ďaľší trojuholník