Trojuholník 9 11 16




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9   b = 11   c = 16

Obsah trojuholníka: S = 47,62435235992
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18

Uhol ∠ A = α = 32,76437577589° = 32°45'50″ = 0,57218354482 rad
Uhol ∠ B = β = 41,41096221093° = 41°24'35″ = 0,72327342478 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,82766201319° = 105°49'36″ = 1,84770229576 rad

Výška trojuholníka: va = 10,58330052443
Výška trojuholníka: vb = 8,65988224726
Výška trojuholníka: vc = 5,95329404499

Ťažnica: ta = 12,97111217711
Ťažnica: tb = 11,75879760163
Ťažnica: tc = 6,08327625303

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,64657513111
Polomer opísanej kružnice: R = 8,31552184062

Súradnice vrcholov: A[16; 0] B[0; 0] C[6,75; 5,95329404499]
Ťažisko: T[7,58333333333; 1,98443134833]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8; -2,26877868381]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,64657513111]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,23662422411° = 147°14'10″ = 0,57218354482 rad
∠ B' = β' = 138,59903778907° = 138°35'25″ = 0,72327342478 rad
∠ C' = γ' = 74,17333798681° = 74°10'24″ = 1,84770229576 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=11 c=16

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=9+11+16=36

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=236=18

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=92 47,62=10,58 vb=b2 S=112 47,62=8,66 vc=c2 S=162 47,62=5,95

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 11 16112+16292)=32°4550"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 9 1692+162112)=41°2435" γ=180°αβ=180°32°4550"41°2435"=105°4936"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1847,62=2,65

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,646 189 11 16=8,32

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 112+2 16292=12,971 tb=22c2+2a2b2=22 162+2 92112=11,758 tc=22a2+2b2c2=22 92+2 112162=6,083

Vypočítať ďaľší trojuholník