Trojuholník 9 11 17

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 11 c = 17

Obsah trojuholníka: S = 44,46655765733
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5

Uhol ∠ A = α = 28,39663170018° = 28°23'47″ = 0,49656092271 rad
Uhol ∠ B = β = 35,53884645156° = 35°32'18″ = 0,62202632169 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,06552184826° = 116°3'55″ = 2,02657202096 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,88112392385
Výška trojuholníka: v_b = 8,08546502861
Výška trojuholníka: v_c = 5,23112443027

Ťažnica: t_a = 13,59222772191
Ťažnica: t_b = 12,44398553046
Ťažnica: t_c = 5,36219026474

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,40435446796
Polomer opísanej kružnice: R = 9,46223758967

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[7,32435294118; 5,23112443027]
Ťažisko: T[8,10878431373; 1,74437481009]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -4,15877106213]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,5; 2,40435446796]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,60436829982° = 151°36'13″ = 0,49656092271 rad
∠ B' = β' = 144,46215354844° = 144°27'42″ = 0,62202632169 rad
∠ C' = γ' = 63,93547815174° = 63°56'5″ = 2,02657202096 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 11 c = 17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 11 + 17 = 37

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7}{2} = 18, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 5 (18, 5 - 9) (18, 5 - 11) (18, 5 - 17) S = 1977, 19 = 44, 47

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 , 4 7}{9} = 9, 88 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 , 4 7}{1 1} = 8, 08 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 , 4 7}{1 7} = 5, 23

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 1 ^{2} + 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 1 \cdot 1 7}) = 28 ° 2 3^{'} 47 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 7 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 7}) = 35 ° 3 2^{'} 18 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 28 ° 2 3^{'} 47 " - 35 ° 3 2^{'} 18 " = 116 ° 3^{'} 55 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 , 4 7}{1 8 , 5} = 2, 4

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 1 \cdot 1 7}{4 \cdot 2 , 4 0 4 \cdot 1 8 , 5} = 9, 46

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 13, 592 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 12, 44 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 5, 362

Vypočítať ďaľší trojuholník