Trojuholník 9 12 13
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 12 c = 13Obsah trojuholníka: S = 52,15436192416
Obvod trojuholníka: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17
Uhol ∠ A = α = 41,96218888284° = 41°57'43″ = 0,73223731204 rad
Uhol ∠ B = β = 63,06442249308° = 63°3'51″ = 1,10106783653 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,97438862409° = 74°58'26″ = 1,30985411679 rad
Výška trojuholníka: va = 11,59896931648
Výška trojuholníka: vb = 8,69222698736
Výška trojuholníka: vc = 8,02436337295
Ťažnica: ta = 11,67326175299
Ťažnica: tb = 9,43439811321
Ťažnica: tc = 8,38215273071
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,06878599554
Polomer opísanej kružnice: R = 6,73301177771
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[4,07769230769; 8,02436337295]
Ťažisko: T[5,69223076923; 2,67545445765]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; 1,74548453496]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 3,06878599554]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,03881111717° = 138°2'17″ = 0,73223731204 rad
∠ B' = β' = 116,93657750692° = 116°56'9″ = 1,10106783653 rad
∠ C' = γ' = 105,02661137591° = 105°1'34″ = 1,30985411679 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=12 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+12+13=34
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=234=17
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17(17−9)(17−12)(17−13) S=2720=52,15
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 52,15=11,59 vb=b2 S=122⋅ 52,15=8,69 vc=c2 S=132⋅ 52,15=8,02
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 13122+132−92)=41°57′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1392+132−122)=63°3′51" γ=180°−α−β=180°−41°57′43"−63°3′51"=74°58′26"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1752,15=3,07
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,068⋅ 179⋅ 12⋅ 13=6,73
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 132−92=11,673 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 92−122=9,434 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 122−132=8,382
Vypočítať ďaľší trojuholník