Trojuholník 9 12 15
Pravouhlý rôznostranný Pytagorejský trojuholník.
Strany: a = 9 b = 12 c = 15Obsah trojuholníka: S = 54
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Uhol ∠ A = α = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka: va = 12
Výška trojuholníka: vb = 9
Výška trojuholníka: vc = 7,2
Ťažnica: ta = 12,8166005618
Ťažnica: tb = 10,81766538264
Ťažnica: tc = 7,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 3
Polomer opísanej kružnice: R = 7,5
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[5,4; 7,2]
Ťažisko: T[6,8; 2,4]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=12 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+12+15=36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−9)(18−12)(18−15) S=2916=54
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 54=12 vb=b2 S=122⋅ 54=9 vc=c2 S=152⋅ 54=7,2
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 15122+152−92)=36°52′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1592+152−122)=53°7′48" γ=180°−α−β=180°−36°52′12"−53°7′48"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1854=3
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3⋅ 189⋅ 12⋅ 15=7,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 152−92=12,816 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 92−122=10,817 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 122−152=7,5
Vypočítať ďaľší trojuholník