Trojuholník 9 12 17
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 12 c = 17Obsah trojuholníka: S = 51,57551878329
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Uhol ∠ A = α = 30,37437861998° = 30°22'26″ = 0,53301225755 rad
Uhol ∠ B = β = 42,39109285431° = 42°23'27″ = 0,74398612761 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,23552852571° = 107°14'7″ = 1,87216088021 rad
Výška trojuholníka: va = 11,46111528518
Výška trojuholníka: vb = 8,59658646388
Výška trojuholníka: vc = 6,06876691568
Ťažnica: ta = 14,00989257261
Ťažnica: tb = 12,20765556157
Ťažnica: tc = 6,34442887702
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,71444835702
Polomer opísanej kružnice: R = 8.98996282764
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[6,64770588235; 6,06876691568]
Ťažisko: T[7,88223529412; 2,02325563856]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -2,63769268967]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,71444835702]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 149,62662138002° = 149°37'34″ = 0,53301225755 rad
∠ B' = β' = 137,60990714569° = 137°36'33″ = 0,74398612761 rad
∠ C' = γ' = 72,76547147429° = 72°45'53″ = 1,87216088021 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=12 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+12+17=38
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−9)(19−12)(19−17) S=2660=51,58
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 51,58=11,46 vb=b2 S=122⋅ 51,58=8,6 vc=c2 S=172⋅ 51,58=6,07
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 17122+172−92)=30°22′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1792+172−122)=42°23′27" γ=180°−α−β=180°−30°22′26"−42°23′27"=107°14′7"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1951,58=2,71
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,714⋅ 199⋅ 12⋅ 17=8,9
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 172−92=14,009 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 92−122=12,207 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 122−172=6,344
Vypočítať ďaľší trojuholník