Trojuholník 9 12 17




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9   b = 12   c = 17

Obsah trojuholníka: S = 51,57551878329
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Uhol ∠ A = α = 30,37437861998° = 30°22'26″ = 0,53301225755 rad
Uhol ∠ B = β = 42,39109285431° = 42°23'27″ = 0,74398612761 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,23552852571° = 107°14'7″ = 1,87216088021 rad

Výška trojuholníka: va = 11,46111528518
Výška trojuholníka: vb = 8,59658646388
Výška trojuholníka: vc = 6,06876691568

Ťažnica: ta = 14,00989257261
Ťažnica: tb = 12,20765556157
Ťažnica: tc = 6,34442887702

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,71444835702
Polomer opísanej kružnice: R = 8.98996282764

Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[6,64770588235; 6,06876691568]
Ťažisko: T[7,88223529412; 2,02325563856]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -2,63769268967]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,71444835702]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 149,62662138002° = 149°37'34″ = 0,53301225755 rad
∠ B' = β' = 137,60990714569° = 137°36'33″ = 0,74398612761 rad
∠ C' = γ' = 72,76547147429° = 72°45'53″ = 1,87216088021 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=12 c=17

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=9+12+17=38

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=238=19

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=19(199)(1912)(1917) S=2660=51,58

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=92 51,58=11,46 vb=b2 S=122 51,58=8,6 vc=c2 S=172 51,58=6,07

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 12 17122+17292)=30°2226"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 9 1792+172122)=42°2327" γ=180°αβ=180°30°2226"42°2327"=107°147"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1951,58=2,71

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,714 199 12 17=8,9

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 122+2 17292=14,009 tb=22c2+2a2b2=22 172+2 92122=12,207 tc=22a2+2b2c2=22 92+2 122172=6,344

Vypočítať ďaľší trojuholník