Trojuholník 9 12 20
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 12 c = 20Obsah trojuholníka: S = 31,65333963423
Obvod trojuholníka: o = 41
Semiperimeter (poloobvod): s = 20,5
Uhol ∠ A = α = 15,29443719921° = 15°17'40″ = 0,26769371483 rad
Uhol ∠ B = β = 20,59215995516° = 20°35'30″ = 0,35993912104 rad
Uhol ∠ C = γ = 144,11440284563° = 144°6'51″ = 2,51552642949 rad
Výška trojuholníka: va = 7,03440880761
Výška trojuholníka: vb = 5,2765566057
Výška trojuholníka: vc = 3,16553396342
Ťažnica: ta = 15,86766316526
Ťažnica: tb = 14.33003496461
Ťažnica: tc = 3,53655339059
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,54440681143
Polomer opísanej kružnice: R = 17,06597806997
Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[8,425; 3,16553396342]
Ťažisko: T[9,475; 1,05551132114]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -13,82215815854]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8,5; 1,54440681143]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,70656280079° = 164°42'20″ = 0,26769371483 rad
∠ B' = β' = 159,40884004484° = 159°24'30″ = 0,35993912104 rad
∠ C' = γ' = 35,88659715437° = 35°53'9″ = 2,51552642949 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=12 c=20
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+12+20=41
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=241=20,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20,5(20,5−9)(20,5−12)(20,5−20) S=1001,94=31,65
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 31,65=7,03 vb=b2 S=122⋅ 31,65=5,28 vc=c2 S=202⋅ 31,65=3,17
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−92)=15°17′40" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2092+202−122)=20°35′30" γ=180°−α−β=180°−15°17′40"−20°35′30"=144°6′51"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=20,531,65=1,54
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,544⋅ 20,59⋅ 12⋅ 20=17,06
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 202−92=15,867 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 92−122=14,3 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 122−202=3,536
Vypočítať ďaľší trojuholník