Trojuholník 9 13 15

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 13 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 58,16551742884
Obvod trojuholníka: o = 37
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,5

Uhol ∠ A = α = 36,62443415398° = 36°37'28″ = 0,63992153462 rad
Uhol ∠ B = β = 59,50987077655° = 59°30'31″ = 1,03986228841 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,86769506947° = 83°52'1″ = 1,46437544232 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,92655942863
Výška trojuholníka: v_b = 8,94884883521
Výška trojuholníka: v_c = 7,75553565718

Ťažnica: t_a = 13,29547358003
Ťažnica: t_b = 10,52437825899
Ťažnica: t_c = 8,29215619759

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,1444063475
Polomer opísanej kružnice: R = 7,54331734774

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[4,56766666667; 7,75553565718]
Ťažisko: T[6,52222222222; 2,58551188573]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 0,80658946023]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 3,1444063475]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,37656584602° = 143°22'32″ = 0,63992153462 rad
∠ B' = β' = 120,49112922345° = 120°29'29″ = 1,03986228841 rad
∠ C' = γ' = 96,13330493053° = 96°7'59″ = 1,46437544232 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 13 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 13 + 15 = 37

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7}{2} = 18, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 18, 5 (18, 5 - 9) (18, 5 - 13) (18, 5 - 15) S = 3383, 19 = 58, 17

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 8 , 1 7}{9} = 12, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 8 , 1 7}{1 3} = 8, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 8 , 1 7}{1 5} = 7, 76

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 3 ^{2} + 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 3 \cdot 1 5}) = 36 ° 3 7^{'} 28 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 5}) = 59 ° 3 0^{'} 31 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 3 7^{'} 28 " - 59 ° 3 0^{'} 31 " = 83 ° 5 2^{'} 1 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 8 , 1 7}{1 8 , 5} = 3, 14

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 3 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 1 4 4 \cdot 1 8 , 5} = 7, 54

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 13, 295 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2} = 10, 524 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 3 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 8, 292

Vypočítať ďaľší trojuholník