Trojuholník 9 14 15

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 14 c = 15

Obsah trojuholníka: S = 61,64441400297
Obvod trojuholníka: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19

Uhol ∠ A = α = 35,95105676196° = 35°57'2″ = 0,62774557729 rad
Uhol ∠ B = β = 65,95879240942° = 65°57'29″ = 1,15111829432 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,09215082861° = 78°5'29″ = 1,36329539374 rad

Výška trojuholníka: v_a = 13,69986977844
Výška trojuholníka: v_b = 8,80663057185
Výška trojuholníka: v_c = 8,21992186706

Ťažnica: t_a = 13,79331142241
Ťažnica: t_b = 10,19880390272
Ťažnica: t_c = 9,06991785736

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,24444284226
Polomer opísanej kružnice: R = 7,66549621484

Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[3,66766666667; 8,21992186706]
Ťažisko: T[6,22222222222; 2,74397395569]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; 1,5821658856]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 3,24444284226]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,04994323804° = 144°2'58″ = 0,62774557729 rad
∠ B' = β' = 114,04220759058° = 114°2'31″ = 1,15111829432 rad
∠ C' = γ' = 101,90884917139° = 101°54'31″ = 1,36329539374 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 14 c = 15

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 14 + 15 = 38

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 8}{2} = 19

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 19 (19 - 9) (19 - 14) (19 - 15) S = 3800 = 61, 64

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{9} = 13, 7 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{1 4} = 8, 81 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 1 , 6 4}{1 5} = 8, 22

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 1 5}) = 35 ° 5 7^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 5}) = 65 ° 5 7^{'} 29 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 5 7^{'} 2 " - 65 ° 5 7^{'} 29 " = 78 ° 5^{'} 29 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 1 , 6 4}{1 9} = 3, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 4 \cdot 1 5}{4 \cdot 3 , 2 4 4 \cdot 1 9} = 7, 66

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 13, 793 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 10, 198 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 9, 069

Vypočítať ďaľší trojuholník