Trojuholník 9 14 17
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 14 c = 17Obsah trojuholníka: S = 62,92985308902
Obvod trojuholníka: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Uhol ∠ A = α = 31,9255166456° = 31°55'31″ = 0,55771992689 rad
Uhol ∠ B = β = 55,34554309073° = 55°20'44″ = 0,96659599953 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,72994026368° = 92°43'46″ = 1,61884333894 rad
Výška trojuholníka: va = 13,98441179756
Výška trojuholníka: vb = 8,99897901272
Výška trojuholníka: vc = 7,40333565753
Ťažnica: ta = 14,90880515159
Ťažnica: tb = 11,66219037897
Ťažnica: tc = 8,1399410298
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,14664265445
Polomer opísanej kružnice: R = 8,5109653609
Súradnice vrcholov: A[17; 0] B[0; 0] C[5,11876470588; 7,40333565753]
Ťažisko: T[7,37325490196; 2,46877855251]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[8,5; -0,40552216004]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,14664265445]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,0754833544° = 148°4'29″ = 0,55771992689 rad
∠ B' = β' = 124,65545690928° = 124°39'16″ = 0,96659599953 rad
∠ C' = γ' = 87,27105973632° = 87°16'14″ = 1,61884333894 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=14 c=17
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+14+17=40
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−9)(20−14)(20−17) S=3960=62,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 62,93=13,98 vb=b2 S=142⋅ 62,93=8,99 vc=c2 S=172⋅ 62,93=7,4
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 17142+172−92)=31°55′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1792+172−142)=55°20′44" γ=180°−α−β=180°−31°55′31"−55°20′44"=92°43′46"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2062,93=3,15
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,146⋅ 209⋅ 14⋅ 17=8,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 172−92=14,908 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 92−142=11,662 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 142−172=8,139
Vypočítať ďaľší trojuholník