Trojuholník 9 14 21

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 14 c = 21

Obsah trojuholníka: S = 47,83330429724
Obvod trojuholníka: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22

Uhol ∠ A = α = 18,98994985755° = 18°59'22″ = 0,33114292734 rad
Uhol ∠ B = β = 30,40990349246° = 30°24'33″ = 0,53107377818 rad
Uhol ∠ C = γ = 130,60114665° = 130°36'5″ = 2,27994255984 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,6329565105
Výška trojuholníka: v_b = 6,83332918532
Výška trojuholníka: v_c = 4,55655279021

Ťažnica: t_a = 17,27699160392
Ťažnica: t_b = 14,56602197786
Ťažnica: t_c = 5,31550729064

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,1744229226
Polomer opísanej kružnice: R = 13,82993522405

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[7,76219047619; 4,55655279021]
Ťažisko: T[9,58773015873; 1,51985093007]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -99,0000546327]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[8; 2,1744229226]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,01105014245° = 161°38″ = 0,33114292734 rad
∠ B' = β' = 149,59109650754° = 149°35'27″ = 0,53107377818 rad
∠ C' = γ' = 49,39985335° = 49°23'55″ = 2,27994255984 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 14 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 14 + 21 = 44

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 4}{2} = 22

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 22 (22 - 9) (22 - 14) (22 - 21) S = 2288 = 47, 83

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 7 , 8 3}{9} = 10, 63 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 7 , 8 3}{1 4} = 6, 83 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 7 , 8 3}{2 1} = 4, 56

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 4 ^{2} + 2 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 4 \cdot 2 1}) = 18 ° 5 9^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 1}) = 30 ° 2 4^{'} 33 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 5 9^{'} 22 " - 30 ° 2 4^{'} 33 " = 130 ° 3 6^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 7 , 8 3}{2 2} = 2, 17

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 4 \cdot 2 1}{4 \cdot 2 , 1 7 4 \cdot 2 2} = 13, 83

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 17, 27 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 14, 56 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 5, 315

Vypočítať ďaľší trojuholník