Trojuholník 9 15 19

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 15 c = 19

Obsah trojuholníka: S = 66,08546994394
Obvod trojuholníka: o = 43
Semiperimeter (poloobvod): s = 21,5

Uhol ∠ A = α = 27,63295013938° = 27°37'46″ = 0,482222577 rad
Uhol ∠ B = β = 50,61768729893° = 50°37'1″ = 0,88334310907 rad
Uhol ∠ C = γ = 101,75436256169° = 101°45'13″ = 1,77659357929 rad

Výška trojuholníka: v_a = 14,68554887643
Výška trojuholníka: v_b = 8,81112932586
Výška trojuholníka: v_c = 6,95662841515

Ťažnica: t_a = 16,51551445649
Ťažnica: t_b = 12,8355497653
Ťažnica: t_c = 7,92114897589

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,07437069507
Polomer opísanej kružnice: R = 9,70334564043

Súradnice vrcholov: A[19; 0] B[0; 0] C[5,71105263158; 6,95662841515]
Ťažisko: T[8,23768421053; 2,31987613838]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[9,5; -1,97766300083]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,07437069507]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 152,37704986062° = 152°22'14″ = 0,482222577 rad
∠ B' = β' = 129,38331270107° = 129°22'59″ = 0,88334310907 rad
∠ C' = γ' = 78,24663743831° = 78°14'47″ = 1,77659357929 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 15 c = 19

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 15 + 19 = 43

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 3}{2} = 21, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 21, 5 (21, 5 - 9) (21, 5 - 15) (21, 5 - 19) S = 4367, 19 = 66, 08

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 6 , 0 8}{9} = 14, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 6 , 0 8}{1 5} = 8, 81 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 6 , 0 8}{1 9} = 6, 96

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 1 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 1 9}) = 27 ° 3 7^{'} 46 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 9}) = 50 ° 3 7^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 27 ° 3 7^{'} 46 " - 50 ° 3 7^{'} 1 " = 101 ° 4 5^{'} 13 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 6 , 0 8}{2 1 , 5} = 3, 07

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 5 \cdot 1 9}{4 \cdot 3 , 0 7 4 \cdot 2 1 , 5} = 9, 7

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 16, 515 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 9 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 12, 835 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 9 ^{2}}{2} = 7, 921

Vypočítať ďaľší trojuholník